Theorem dvdsunit 13487

Description: A divisor of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsunit.1	|- U = (Unit ` R )
dvdsunit.3	|- .|| = ( ||r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvdsunit	|- ( ( R e. CRing /\ Y .|| X /\ X e. U ) -> Y e. U )

Proof of Theorem dvdsunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 13387	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		dvdsunit.3	. . . . . 6 |- .|| = ( ||r ` R )
4	2, 3	dvdsrtr 13476	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y .|| X /\ X .|| ( 1r ` R ) ) -> Y .|| ( 1r ` R ) )
5	4	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y .|| X ) -> ( X .|| ( 1r ` R ) -> Y .|| ( 1r ` R ) ) )
6	1, 5	sylan 283	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ Y .|| X ) -> ( X .|| ( 1r ` R ) -> Y .|| ( 1r ` R ) ) )
7		dvdsunit.1	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
8		eqid 2189	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
9	7, 8, 3	crngunit 13486	. . . 4 |- ( R e. CRing -> ( X e. U <-> X .|| ( 1r ` R ) ) )
10	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ Y .|| X ) -> ( X e. U <-> X .|| ( 1r ` R ) ) )
11	7, 8, 3	crngunit 13486	. . . 4 |- ( R e. CRing -> ( Y e. U <-> Y .|| ( 1r ` R ) ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ Y .|| X ) -> ( Y e. U <-> Y .|| ( 1r ` R ) ) )
13	6, 10, 12	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ Y .|| X ) -> ( X e. U -> Y e. U ) )
14	13	3impia 1202	1 |- ( ( R e. CRing /\ Y .|| X /\ X e. U ) -> Y e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4021   ` cfv 5238   Basecbs 12523   1rcur 13338   Ringcrg 13375   CRingccrg 13376   ||_rcdsr 13461  Unitcui 13462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-tpos 6274  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-cmn 13250  df-abl 13251  df-mgp 13300  df-ur 13339  df-srg 13343  df-ring 13377  df-cring 13378  df-oppr 13443  df-dvdsr 13464  df-unit 13465

This theorem is referenced by:  unitmulclb  13489