Theorem dfmpt3 5336

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4065. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfmpt3	|- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )

Proof of Theorem dfmpt3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mpt 4065	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
2		velsn 3609	. . . . . . 7 |- ( y e. { B } <-> y = B )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. { B } ) <-> ( x e. A /\ y = B ) )
4	3	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. { B } ) ) <-> ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y = B ) ) )
5	4	2exbii 1606	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. { B } ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y = B ) ) )
6		eliunxp 4764	. . . 4 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { B } ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. { B } ) ) )
7		elopab 4257	. . . 4 |- ( z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y = B ) ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 212	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { B } ) <-> z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } )
9	8	eqriv 2174	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
10	1, 9	eqtr4i 2201	1 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {csn 3592   <.cop 3595   U_ciun 3886   {copab 4062   |-> cmpt 4063   X. cxp 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-iun 3888  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-xp 4631  df-rel 4632

This theorem is referenced by:  dfmpt  5691  dfmptg  5693