Theorem dfmpt3 5294

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4029. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfmpt3	|- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )

Proof of Theorem dfmpt3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mpt 4029	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
2		velsn 3578	. . . . . . 7 |- ( y e. { B } <-> y = B )
3	2	anbi2i 453	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. { B } ) <-> ( x e. A /\ y = B ) )
4	3	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. { B } ) ) <-> ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y = B ) ) )
5	4	2exbii 1586	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. { B } ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y = B ) ) )
6		eliunxp 4727	. . . 4 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { B } ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. { B } ) ) )
7		elopab 4220	. . . 4 |- ( z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y = B ) ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 211	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { B } ) <-> z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } )
9	8	eqriv 2154	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
10	1, 9	eqtr4i 2181	1 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   {csn 3561   <.cop 3564   U_ciun 3851   {copab 4026   |-> cmpt 4027   X. cxp 4586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-iun 3853  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-xp 4594  df-rel 4595

This theorem is referenced by:  dfmpt  5646  dfmptg  5648