Theorem fnasrn 5642

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfmpt.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fnasrn	|- ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. )

Proof of Theorem fnasrn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	dfmpt 5641	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
3		eqid 2157	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
4	3	rnmpt 4831	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
5		velsn 3577	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
6	5	rexbii 2464	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
7	6	abbii 2273	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
8	4, 7	eqtr4i 2181	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9		df-iun 3851	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
10	8, 9	eqtr4i 2181	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
11	2, 10	eqtr4i 2181	1 |- ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. )

Syntax hints:   = wceq 1335   e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   {csn 3560   <.cop 3563   U_ciun 3849   |-> cmpt 4025   ran crn 4584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174

This theorem is referenced by:  idref  5702