Theorem fnasrn 5887

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfmpt.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fnasrn	|- ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. )

Proof of Theorem fnasrn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	dfmpt 5886	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
4	3	rnmpt 5030	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
5		velsn 3726	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
6	5	rexbii 2557	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
7	6	abbii 2354	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
8	4, 7	eqtr4i 2262	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9		df-iun 4014	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
10	8, 9	eqtr4i 2262	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
11	2, 10	eqtr4i 2262	1 |- ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   {csn 3709   <.cop 3712   U_ciun 4012   |-> cmpt 4192   ran crn 4775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384

This theorem is used by:  idref  5962