Theorem fnasrn 5856

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfmpt.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fnasrn	|- ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. )

Proof of Theorem fnasrn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	dfmpt 5855	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
3		eqid 2232	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
4	3	rnmpt 5005	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
5		velsn 3706	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
6	5	rexbii 2549	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
7	6	abbii 2348	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
8	4, 7	eqtr4i 2256	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9		df-iun 3993	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
10	8, 9	eqtr4i 2256	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
11	2, 10	eqtr4i 2256	1 |- ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   {csn 3689   <.cop 3692   U_ciun 3991   |-> cmpt 4171   ran crn 4750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359

This theorem is referenced by:  idref  5929