Theorem tfi 4618

Description: The Principle of Transfinite Induction. Theorem 7.17 of [TakeutiZaring] p. 39. This principle states that if A is a class of ordinal numbers with the property that every ordinal number included in A also belongs to A, then every ordinal number is in A.

(Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
tfi	|- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A = On )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem tfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2480	. . . . . . 7 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) )
2		imdi 250	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) <-> ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
3	2	albii 1484	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) <-> A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
4	1, 3	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
5		dfss2 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ A <-> A. y ( y e. x -> y e. A ) )
6	5	imbi2i 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On -> x C_ A ) <-> ( x e. On -> A. y ( y e. x -> y e. A ) ) )
7		19.21v 1887	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) <-> ( x e. On -> A. y ( y e. x -> y e. A ) ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On -> x C_ A ) <-> A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
9	8	imbi1i 238	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
10	9	albii 1484	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
11	4, 10	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
12		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. x )
13		tron 4417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Tr On
14		dftr2 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Tr On <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On ) )
15	13, 14	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
16	15	spi 1550	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
17	16	spi 1550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
18	12, 17	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> ( y e. x /\ y e. On ) )
19	18	imim1i 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ y e. On ) -> y e. A ) -> ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) )
20		impexp 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ y e. On ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
21		impexp 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. On -> y e. A ) ) )
22		bi2.04 248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x -> ( x e. On -> y e. A ) ) <-> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
23	21, 22	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) <-> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
24	19, 20, 23	3imtr3i 200	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
25	24	alimi 1469	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
26	25	imim1i 60	. . . . . 6 |- ( ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
27	26	alimi 1469	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
28	11, 27	sylbi 121	. . . 4 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
29	28	adantl 277	. . 3 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
30		sbim 1972	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> ( [ y / x ] x e. On -> [ y / x ] x e. A ) )
31		clelsb1 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] x e. On <-> y e. On )
32		clelsb1 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
33	31, 32	imbi12i 239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ y / x ] x e. On -> [ y / x ] x e. A ) <-> ( y e. On -> y e. A ) )
34	30, 33	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> ( y e. On -> y e. A ) )
35	34	ralbii 2503	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> A. y e. x ( y e. On -> y e. A ) )
36		df-ral 2480	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( y e. On -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
37	35, 36	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
38	37	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
39	38	albii 1484	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
40		ax-setind 4573	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
41	39, 40	sylbir 135	. . . 4 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
42		dfss2 3172	. . . 4 |- ( On C_ A <-> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
43	41, 42	sylibr 134	. . 3 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> On C_ A )
44	29, 43	syl 14	. 2 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> On C_ A )
45		eqss 3198	. . 3 |- ( A = On <-> ( A C_ On /\ On C_ A ) )
46	45	biimpri 133	. 2 |- ( ( A C_ On /\ On C_ A ) -> A = On )
47	44, 46	syldan 282	1 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A = On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   [wsb 1776   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   Tr wtr 4131   Oncon0 4398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-uni 3840  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403

This theorem is referenced by:  tfis  4619