Theorem tfi 4410

Description: The Principle of Transfinite Induction. Theorem 7.17 of [TakeutiZaring] p. 39. This principle states that if A is a class of ordinal numbers with the property that every ordinal number included in A also belongs to A, then every ordinal number is in A.

(Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
tfi	|- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A = On )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem tfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2365	. . . . . . 7 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) )
2		imdi 249	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) <-> ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
3	2	albii 1405	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) <-> A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
4	1, 3	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
5		dfss2 3015	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ A <-> A. y ( y e. x -> y e. A ) )
6	5	imbi2i 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On -> x C_ A ) <-> ( x e. On -> A. y ( y e. x -> y e. A ) ) )
7		19.21v 1802	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) <-> ( x e. On -> A. y ( y e. x -> y e. A ) ) )
8	6, 7	bitr4i 186	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On -> x C_ A ) <-> A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
9	8	imbi1i 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
10	9	albii 1405	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
11	4, 10	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
12		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. x )
13		tron 4218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Tr On
14		dftr2 3944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Tr On <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On ) )
15	13, 14	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
16	15	spi 1475	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
17	16	spi 1475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
18	12, 17	jca 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> ( y e. x /\ y e. On ) )
19	18	imim1i 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ y e. On ) -> y e. A ) -> ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) )
20		impexp 260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ y e. On ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
21		impexp 260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. On -> y e. A ) ) )
22		bi2.04 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x -> ( x e. On -> y e. A ) ) <-> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
23	21, 22	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) <-> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
24	19, 20, 23	3imtr3i 199	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
25	24	alimi 1390	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
26	25	imim1i 60	. . . . . 6 |- ( ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
27	26	alimi 1390	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
28	11, 27	sylbi 120	. . . 4 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
29	28	adantl 272	. . 3 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
30		sbim 1876	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> ( [ y / x ] x e. On -> [ y / x ] x e. A ) )
31		clelsb3 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] x e. On <-> y e. On )
32		clelsb3 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
33	31, 32	imbi12i 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ y / x ] x e. On -> [ y / x ] x e. A ) <-> ( y e. On -> y e. A ) )
34	30, 33	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> ( y e. On -> y e. A ) )
35	34	ralbii 2385	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> A. y e. x ( y e. On -> y e. A ) )
36		df-ral 2365	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( y e. On -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
37	35, 36	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
38	37	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
39	38	albii 1405	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
40		ax-setind 4366	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
41	39, 40	sylbir 134	. . . 4 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
42		dfss2 3015	. . . 4 |- ( On C_ A <-> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
43	41, 42	sylibr 133	. . 3 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> On C_ A )
44	29, 43	syl 14	. 2 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> On C_ A )
45		eqss 3041	. . 3 |- ( A = On <-> ( A C_ On /\ On C_ A ) )
46	45	biimpri 132	. 2 |- ( ( A C_ On /\ On C_ A ) -> A = On )
47	44, 46	syldan 277	1 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A = On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1288   = wceq 1290   e. wcel 1439   [wsb 1693   A.wral 2360   C_ wss 3000   Tr wtr 3942   Oncon0 4199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-setind 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-in 3006  df-ss 3013  df-uni 3660  df-tr 3943  df-iord 4202  df-on 4204

This theorem is referenced by:  tfis  4411