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Theorem tfi 4556
Description: The Principle of Transfinite Induction. Theorem 7.17 of [TakeutiZaring] p. 39. This principle states that if  A is a class of ordinal numbers with the property that every ordinal number included in  A also belongs to  A, then every ordinal number is in  A.

(Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion
Ref Expression
tfi  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  A  =  On )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem tfi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2447 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A )  <->  A. x
( x  e.  On  ->  ( x  C_  A  ->  x  e.  A ) ) )
2 imdi 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  ->  ( x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  <-> 
( ( x  e.  On  ->  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
32albii 1457 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  On  ->  ( x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  <->  A. x
( ( x  e.  On  ->  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
41, 3bitri 183 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A )  <->  A. x
( ( x  e.  On  ->  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
5 dfss2 3129 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  A  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )
65imbi2i 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  ->  x 
C_  A )  <->  ( x  e.  On  ->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
7 19.21v 1860 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )  <->  ( x  e.  On  ->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
86, 7bitr4i 186 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  ->  x 
C_  A )  <->  A. y
( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
98imbi1i 237 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  On  ->  x  C_  A )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  <->  ( A. y
( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
109albii 1457 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  On  ->  x  C_  A )  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  <->  A. x ( A. y
( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
114, 10bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A )  <->  A. x
( A. y ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
12 simpl 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  x )
13 tron 4357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Tr  On
14 dftr2 4079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  On  <->  A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On ) )
1513, 14mpbi 144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
1615spi 1523 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
1716spi 1523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
1812, 17jca 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  x  /\  y  e.  On ) )
1918imim1i 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  y  e.  On )  ->  y  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A ) )
20 impexp 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  y  e.  On )  ->  y  e.  A
)  <->  ( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) ) )
21 impexp 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A
)  <->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  On  ->  y  e.  A ) ) )
22 bi2.04 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  -> 
( x  e.  On  ->  y  e.  A ) )  <->  ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
2321, 22bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A
)  <->  ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
2419, 20, 233imtr3i 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  -> 
( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
2524alimi 1442 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  A. y ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
2625imim1i 60 . . . . . 6  |-  ( ( A. y ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  -> 
( A. y ( y  e.  x  -> 
( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
2726alimi 1442 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y
( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  ->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
2811, 27sylbi 120 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A )  ->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
2928adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  A. x ( A. y ( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
30 sbim 1940 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  On  ->  x  e.  A )  <-> 
( [ y  /  x ] x  e.  On  ->  [ y  /  x ] x  e.  A
) )
31 clelsb1 2269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  On  <->  y  e.  On )
32 clelsb1 2269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  A  <->  y  e.  A )
3331, 32imbi12i 238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ y  /  x ] x  e.  On  ->  [ y  /  x ] x  e.  A
)  <->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )
3430, 33bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  On  ->  x  e.  A )  <-> 
( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )
3534ralbii 2470 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  On  ->  x  e.  A )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )
36 df-ral 2447 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  On  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) ) )
3735, 36bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  On  ->  x  e.  A )  <->  A. y ( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) ) )
3837imbi1i 237 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  On  ->  x  e.  A )  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  <-> 
( A. y ( y  e.  x  -> 
( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
3938albii 1457 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  On  ->  x  e.  A )  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  <->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
40 ax-setind 4511 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  On  ->  x  e.  A )  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  ->  A. x ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )
4139, 40sylbir 134 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  ->  A. x ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )
42 dfss2 3129 . . . 4  |-  ( On  C_  A  <->  A. x ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )
4341, 42sylibr 133 . . 3  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  ->  On  C_  A )
4429, 43syl 14 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  On  C_  A
)
45 eqss 3155 . . 3  |-  ( A  =  On  <->  ( A  C_  On  /\  On  C_  A ) )
4645biimpri 132 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  On  C_  A )  ->  A  =  On )
4744, 46syldan 280 1  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  A  =  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1340    = wceq 1342   [wsb 1749    e. wcel 2135   A.wral 2442    C_ wss 3114   Tr wtr 4077   Oncon0 4338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-setind 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2726  df-in 3120  df-ss 3127  df-uni 3787  df-tr 4078  df-iord 4341  df-on 4343
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