Theorem ordtriexmidlem 4551

Description: Lemma for decidability and ordinals. The set { x e. { (/) } | ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4553 or weak linearity in ordsoexmid 4594) with a proposition ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordtriexmidlem	|- { x e. { (/) } | ph } e. On

Proof of Theorem ordtriexmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. z )
2		elrabi 2913	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z e. { (/) } )
3		velsn 3635	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { (/) } <-> z = (/) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z = (/) )
5		noel 3450	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
6		eleq2 2257	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
7	5, 6	mtbiri 676	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> -. y e. z )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> -. y e. z )
10	1, 9	pm2.21dd 621	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
11	10	gen2 1461	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
12		dftr2 4129	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } ) )
13	11, 12	mpbir 146	. . 3 |- Tr { x e. { (/) } | ph }
14		ssrab2 3264	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
15		ord0 4422	. . . . 5 |- Ord (/)
16		ordsucim 4532	. . . . 5 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- Ord suc (/)
18		suc0 4442	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
19		ordeq 4403	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 |- ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } )
21	17, 20	mpbi 145	. . 3 |- Ord { (/) }
22		trssord 4411	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) } | ph } /\ { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ Ord { (/) } ) -> Ord { x e. { (/) } | ph } )
23	13, 14, 21, 22	mp3an 1348	. 2 |- Ord { x e. { (/) } | ph }
24		p0ex 4217	. . . 4 |- { (/) } e. _V
25	24	rabex 4173	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
26	25	elon 4405	. 2 |- ( { x e. { (/) } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) } | ph } )
27	23, 26	mpbir 146	1 |- { x e. { (/) } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   Tr wtr 4127   Ord word 4393   Oncon0 4394   suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402

This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4553  ontriexmidim  4554  ordtri2orexmid  4555  ontr2exmid  4557  onsucsssucexmid  4559  ordsoexmid  4594  0elsucexmid  4597  ordpwsucexmid  4602  unfiexmid  6974  exmidonfinlem  7253