ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtriexmidlem Unicode version

Theorem ordtriexmidlem 4520
Description: Lemma for decidability and ordinals. The set  { x  e.  { (/)
}  |  ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4522 or weak linearity in ordsoexmid 4563) with a proposition  ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordtriexmidlem  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On

Proof of Theorem ordtriexmidlem
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  z )
2 elrabi 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  z  e.  { (/)
} )
3 velsn 3611 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { (/) }  <->  z  =  (/) )
42, 3sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  z  =  (/) )
5 noel 3428 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  e.  (/)
6 eleq2 2241 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (/) ) )
75, 6mtbiri 675 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  -.  y  e.  z )
84, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  -.  y  e.  z )
98adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  -.  y  e.  z )
101, 9pm2.21dd 620 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)
1110gen2 1450 . . . 4  |-  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)  ->  y  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )
12 dftr2 4105 . . . 4  |-  ( Tr 
{ x  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
1311, 12mpbir 146 . . 3  |-  Tr  {
x  e.  { (/) }  |  ph }
14 ssrab2 3242 . . 3  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
15 ord0 4393 . . . . 5  |-  Ord  (/)
16 ordsucim 4501 . . . . 5  |-  ( Ord  (/)  ->  Ord  suc  (/) )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  Ord  suc  (/)
18 suc0 4413 . . . . 5  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
19 ordeq 4374 . . . . 5  |-  ( suc  (/)  =  { (/) }  ->  ( Ord  suc  (/)  <->  Ord  { (/) } ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( Ord 
suc  (/)  <->  Ord  { (/) } )
2117, 20mpbi 145 . . 3  |-  Ord  { (/)
}
22 trssord 4382 . . 3  |-  ( ( Tr  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  /\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  Ord  { (/) } )  ->  Ord  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)
2313, 14, 21, 22mp3an 1337 . 2  |-  Ord  {
x  e.  { (/) }  |  ph }
24 p0ex 4190 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
2524rabex 4149 . . 3  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
2625elon 4376 . 2  |-  ( { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On 
<->  Ord  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )
2723, 26mpbir 146 1  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353    e. wcel 2148   {crab 2459    C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   Tr wtr 4103   Ord word 4364   Oncon0 4365   suc csuc 4367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-uni 3812  df-tr 4104  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373
This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4522  ontriexmidim  4523  ordtri2orexmid  4524  ontr2exmid  4526  onsucsssucexmid  4528  ordsoexmid  4563  0elsucexmid  4566  ordpwsucexmid  4571  unfiexmid  6920  exmidonfinlem  7195
  Copyright terms: Public domain W3C validator