ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtriexmidlem Unicode version

Theorem ordtriexmidlem 4503
Description: Lemma for decidability and ordinals. The set  { x  e.  { (/)
}  |  ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4505 or weak linearity in ordsoexmid 4546) with a proposition  ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordtriexmidlem  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On

Proof of Theorem ordtriexmidlem
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  z )
2 elrabi 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  z  e.  { (/)
} )
3 velsn 3600 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { (/) }  <->  z  =  (/) )
42, 3sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  z  =  (/) )
5 noel 3418 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  e.  (/)
6 eleq2 2234 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (/) ) )
75, 6mtbiri 670 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  -.  y  e.  z )
84, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  -.  y  e.  z )
98adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  -.  y  e.  z )
101, 9pm2.21dd 615 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)
1110gen2 1443 . . . 4  |-  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)  ->  y  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )
12 dftr2 4089 . . . 4  |-  ( Tr 
{ x  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
1311, 12mpbir 145 . . 3  |-  Tr  {
x  e.  { (/) }  |  ph }
14 ssrab2 3232 . . 3  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
15 ord0 4376 . . . . 5  |-  Ord  (/)
16 ordsucim 4484 . . . . 5  |-  ( Ord  (/)  ->  Ord  suc  (/) )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  Ord  suc  (/)
18 suc0 4396 . . . . 5  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
19 ordeq 4357 . . . . 5  |-  ( suc  (/)  =  { (/) }  ->  ( Ord  suc  (/)  <->  Ord  { (/) } ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( Ord 
suc  (/)  <->  Ord  { (/) } )
2117, 20mpbi 144 . . 3  |-  Ord  { (/)
}
22 trssord 4365 . . 3  |-  ( ( Tr  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  /\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  Ord  { (/) } )  ->  Ord  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)
2313, 14, 21, 22mp3an 1332 . 2  |-  Ord  {
x  e.  { (/) }  |  ph }
24 p0ex 4174 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
2524rabex 4133 . . 3  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
2625elon 4359 . 2  |-  ( { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On 
<->  Ord  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )
2723, 26mpbir 145 1  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346    = wceq 1348    e. wcel 2141   {crab 2452    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   Tr wtr 4087   Ord word 4347   Oncon0 4348   suc csuc 4350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356
This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4505  ontriexmidim  4506  ordtri2orexmid  4507  ontr2exmid  4509  onsucsssucexmid  4511  ordsoexmid  4546  0elsucexmid  4549  ordpwsucexmid  4554  unfiexmid  6895  exmidonfinlem  7170
  Copyright terms: Public domain W3C validator