Theorem ordtriexmidlem 4503

Description: Lemma for decidability and ordinals. The set { x e. { (/) } | ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4505 or weak linearity in ordsoexmid 4546) with a proposition ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordtriexmidlem	|- { x e. { (/) } | ph } e. On

Proof of Theorem ordtriexmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. z )
2		elrabi 2883	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z e. { (/) } )
3		velsn 3600	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { (/) } <-> z = (/) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z = (/) )
5		noel 3418	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
6		eleq2 2234	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
7	5, 6	mtbiri 670	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> -. y e. z )
9	8	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> -. y e. z )
10	1, 9	pm2.21dd 615	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
11	10	gen2 1443	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
12		dftr2 4089	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } ) )
13	11, 12	mpbir 145	. . 3 |- Tr { x e. { (/) } | ph }
14		ssrab2 3232	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
15		ord0 4376	. . . . 5 |- Ord (/)
16		ordsucim 4484	. . . . 5 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- Ord suc (/)
18		suc0 4396	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
19		ordeq 4357	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 |- ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } )
21	17, 20	mpbi 144	. . 3 |- Ord { (/) }
22		trssord 4365	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) } | ph } /\ { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ Ord { (/) } ) -> Ord { x e. { (/) } | ph } )
23	13, 14, 21, 22	mp3an 1332	. 2 |- Ord { x e. { (/) } | ph }
24		p0ex 4174	. . . 4 |- { (/) } e. _V
25	24	rabex 4133	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
26	25	elon 4359	. 2 |- ( { x e. { (/) } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) } | ph } )
27	23, 26	mpbir 145	1 |- { x e. { (/) } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   Tr wtr 4087   Ord word 4347   Oncon0 4348   suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4505  ontriexmidim  4506  ordtri2orexmid  4507  ontr2exmid  4509  onsucsssucexmid  4511  ordsoexmid  4546  0elsucexmid  4549  ordpwsucexmid  4554  unfiexmid  6895  exmidonfinlem  7170