Theorem ordtriexmidlem 4496

Description: Lemma for decidability and ordinals. The set { x e. { (/) } | ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4498 or weak linearity in ordsoexmid 4539) with a proposition ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordtriexmidlem	|- { x e. { (/) } | ph } e. On

Proof of Theorem ordtriexmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. z )
2		elrabi 2879	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z e. { (/) } )
3		velsn 3593	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { (/) } <-> z = (/) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z = (/) )
5		noel 3413	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
6		eleq2 2230	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
7	5, 6	mtbiri 665	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> -. y e. z )
9	8	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> -. y e. z )
10	1, 9	pm2.21dd 610	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
11	10	gen2 1438	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
12		dftr2 4082	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } ) )
13	11, 12	mpbir 145	. . 3 |- Tr { x e. { (/) } | ph }
14		ssrab2 3227	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
15		ord0 4369	. . . . 5 |- Ord (/)
16		ordsucim 4477	. . . . 5 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- Ord suc (/)
18		suc0 4389	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
19		ordeq 4350	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 |- ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } )
21	17, 20	mpbi 144	. . 3 |- Ord { (/) }
22		trssord 4358	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) } | ph } /\ { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ Ord { (/) } ) -> Ord { x e. { (/) } | ph } )
23	13, 14, 21, 22	mp3an 1327	. 2 |- Ord { x e. { (/) } | ph }
24		p0ex 4167	. . . 4 |- { (/) } e. _V
25	24	rabex 4126	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
26	25	elon 4352	. 2 |- ( { x e. { (/) } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) } | ph } )
27	23, 26	mpbir 145	1 |- { x e. { (/) } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2448   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   Tr wtr 4080   Ord word 4340   Oncon0 4341   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4498  ontriexmidim  4499  ordtri2orexmid  4500  ontr2exmid  4502  onsucsssucexmid  4504  ordsoexmid  4539  0elsucexmid  4542  ordpwsucexmid  4547  unfiexmid  6883  exmidonfinlem  7149