Theorem ordtriexmidlem 4435

Description: Lemma for decidability and ordinals. The set { x e. { (/) } | ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4437 or weak linearity in ordsoexmid 4477) with a proposition ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordtriexmidlem	|- { x e. { (/) } | ph } e. On

Proof of Theorem ordtriexmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. z )
2		elrabi 2837	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z e. { (/) } )
3		velsn 3544	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { (/) } <-> z = (/) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z = (/) )
5		noel 3367	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
6		eleq2 2203	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
7	5, 6	mtbiri 664	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> -. y e. z )
9	8	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> -. y e. z )
10	1, 9	pm2.21dd 609	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
11	10	gen2 1426	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
12		dftr2 4028	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } ) )
13	11, 12	mpbir 145	. . 3 |- Tr { x e. { (/) } | ph }
14		ssrab2 3182	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
15		ord0 4313	. . . . 5 |- Ord (/)
16		ordsucim 4416	. . . . 5 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- Ord suc (/)
18		suc0 4333	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
19		ordeq 4294	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 |- ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } )
21	17, 20	mpbi 144	. . 3 |- Ord { (/) }
22		trssord 4302	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) } | ph } /\ { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ Ord { (/) } ) -> Ord { x e. { (/) } | ph } )
23	13, 14, 21, 22	mp3an 1315	. 2 |- Ord { x e. { (/) } | ph }
24		p0ex 4112	. . . 4 |- { (/) } e. _V
25	24	rabex 4072	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
26	25	elon 4296	. 2 |- ( { x e. { (/) } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) } | ph } )
27	23, 26	mpbir 145	1 |- { x e. { (/) } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   Tr wtr 4026   Ord word 4284   Oncon0 4285   suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4437  ordtri2orexmid  4438  ontr2exmid  4440  onsucsssucexmid  4442  ordsoexmid  4477  0elsucexmid  4480  ordpwsucexmid  4485  unfiexmid  6806  exmidonfinlem  7049