Theorem ordtriexmidlem 4480

Description: Lemma for decidability and ordinals. The set { x e. { (/) } | ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4482 or weak linearity in ordsoexmid 4523) with a proposition ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordtriexmidlem	|- { x e. { (/) } | ph } e. On

Proof of Theorem ordtriexmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. z )
2		elrabi 2865	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z e. { (/) } )
3		velsn 3578	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { (/) } <-> z = (/) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z = (/) )
5		noel 3399	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
6		eleq2 2221	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
7	5, 6	mtbiri 665	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> -. y e. z )
9	8	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> -. y e. z )
10	1, 9	pm2.21dd 610	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
11	10	gen2 1430	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
12		dftr2 4066	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } ) )
13	11, 12	mpbir 145	. . 3 |- Tr { x e. { (/) } | ph }
14		ssrab2 3213	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
15		ord0 4353	. . . . 5 |- Ord (/)
16		ordsucim 4461	. . . . 5 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- Ord suc (/)
18		suc0 4373	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
19		ordeq 4334	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 |- ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } )
21	17, 20	mpbi 144	. . 3 |- Ord { (/) }
22		trssord 4342	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) } | ph } /\ { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ Ord { (/) } ) -> Ord { x e. { (/) } | ph } )
23	13, 14, 21, 22	mp3an 1319	. 2 |- Ord { x e. { (/) } | ph }
24		p0ex 4151	. . . 4 |- { (/) } e. _V
25	24	rabex 4110	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
26	25	elon 4336	. 2 |- ( { x e. { (/) } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) } | ph } )
27	23, 26	mpbir 145	1 |- { x e. { (/) } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1333   = wceq 1335   e. wcel 2128   {crab 2439   C_ wss 3102   (/)c0 3395   {csn 3561   Tr wtr 4064   Ord word 4324   Oncon0 4325   suc csuc 4327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-uni 3775  df-tr 4065  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333

This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4482  ontriexmidim  4483  ordtri2orexmid  4484  ontr2exmid  4486  onsucsssucexmid  4488  ordsoexmid  4523  0elsucexmid  4526  ordpwsucexmid  4531  unfiexmid  6864  exmidonfinlem  7130