Theorem dftr2 3913

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dftr2	⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem dftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3003	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
2		df-tr 3912	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝐴)
3		19.23v 1808	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))
4		eluni 3639	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	imbi1i 236	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))
6	3, 5	bitr4i 185	. . 3 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	albii 1402	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
8	1, 2, 7	3bitr4i 210	1 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103  ∀wal 1285  ∃wex 1424   ∈ wcel 1436   ⊆ wss 2988  ∪ cuni 3636  Tr wtr 3911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-v 2617  df-in 2994  df-ss 3001  df-uni 3637  df-tr 3912

This theorem is referenced by:  dftr5  3914  trel  3918  suctr  4222  ordtriexmidlem  4309  ordtri2or2exmidlem  4315  onsucelsucexmidlem  4318  ordsuc  4352  tfi  4370  ordom  4394