Theorem dftr2 4118

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dftr2	⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem dftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3159	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
2		df-tr 4117	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝐴)
3		19.23v 1894	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))
4		eluni 3827	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	imbi1i 238	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))
6	3, 5	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	albii 1481	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
8	1, 2, 7	3bitr4i 212	1 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3144  ∪ cuni 3824  Tr wtr 4116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-uni 3825  df-tr 4117

This theorem is referenced by:  dftr5  4119  trel  4123  suctr  4439  ordtriexmidlem  4536  ordtri2or2exmidlem  4543  onsucelsucexmidlem  4546  ordsuc  4580  tfi  4599  ordom  4624