Theorem dftr2 4231

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dftr2	⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem dftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3235	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
2		df-tr 4230	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝐴)
3		19.23v 1936	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))
4		eluni 3938	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	imbi1i 238	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))
6	3, 5	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	albii 1523	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴))
8	1, 2, 7	3bitr4i 212	1 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1400  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3935  Tr wtr 4229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-uni 3936  df-tr 4230

This theorem is used by:  dftr5  4232  trel  4236  suctr  4566  ordtriexmidlem  4666  ordtri2or2exmidlem  4673  onsucelsucexmidlem  4676  ordsuc  4710  tfi  4729  ordom  4754