Theorem ordtri2or2exmidlem 4441

Description: A set which is 2o if ph or (/) if -. ph is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmidlem	|- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem ordtri2or2exmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 518	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. z )
2		noel 3367	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
3		eleq2 2203	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
4	2, 3	mtbiri 664	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> -. y e. z )
6	1, 5	pm2.21dd 609	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
7		eleq2 2203	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { (/) } -> ( y e. z <-> y e. { (/) } ) )
8	7	biimpac 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) } )
9		velsn 3544	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
10	8, 9	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y = (/) )
11		orc 701	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
12		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
13	12	elpr 3548	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) , { (/) } } <-> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
14	11, 13	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> y e. { (/) , { (/) } } )
15	10, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
16	15	adantlr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
17		biidd 171	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> ph ) )
18	17	elrab 2840	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( z e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
19	18	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
20	19	ad2antlr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> ph )
21		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2840	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( y e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
23	16, 20, 22	sylanbrc 413	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
24		elrabi 2837	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> z e. { (/) , { (/) } } )
25		vex 2689	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
26	25	elpr 3548	. . . . . . . 8 |- ( z e. { (/) , { (/) } } <-> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
27	24, 26	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
28	27	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
29	6, 23, 28	mpjaodan 787	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30	29	gen2 1426	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
31		dftr2 4028	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
32	30, 31	mpbir 145	. . 3 |- Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
33		ssrab2 3182	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } }
34		2ordpr 4439	. . 3 |- Ord { (/) , { (/) } }
35		trssord 4302	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } /\ { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } } /\ Ord { (/) , { (/) } } ) -> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
36	32, 33, 34, 35	mp3an 1315	. 2 |- Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
37		pp0ex 4113	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } e. _V
38	37	rabex 4072	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. _V
39	38	elon 4296	. 2 |- ( { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
40	36, 39	mpbir 145	1 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   Tr wtr 4026   Ord word 4284   Oncon0 4285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  ordtri2or2exmid  4486