Theorem ordtri2or2exmidlem 4510

Description: A set which is 2o if ph or (/) if -. ph is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmidlem	|- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem ordtri2or2exmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. z )
2		noel 3418	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
3		eleq2 2234	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
4	2, 3	mtbiri 670	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> -. y e. z )
6	1, 5	pm2.21dd 615	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
7		eleq2 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { (/) } -> ( y e. z <-> y e. { (/) } ) )
8	7	biimpac 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) } )
9		velsn 3600	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
10	8, 9	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y = (/) )
11		orc 707	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
12		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
13	12	elpr 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) , { (/) } } <-> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
14	11, 13	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> y e. { (/) , { (/) } } )
15	10, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
16	15	adantlr 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
17		biidd 171	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> ph ) )
18	17	elrab 2886	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( z e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
19	18	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
20	19	ad2antlr 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> ph )
21		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2886	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( y e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
23	16, 20, 22	sylanbrc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
24		elrabi 2883	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> z e. { (/) , { (/) } } )
25		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
26	25	elpr 3604	. . . . . . . 8 |- ( z e. { (/) , { (/) } } <-> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
27	24, 26	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
28	27	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
29	6, 23, 28	mpjaodan 793	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30	29	gen2 1443	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
31		dftr2 4089	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
32	30, 31	mpbir 145	. . 3 |- Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
33		ssrab2 3232	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } }
34		2ordpr 4508	. . 3 |- Ord { (/) , { (/) } }
35		trssord 4365	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } /\ { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } } /\ Ord { (/) , { (/) } } ) -> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
36	32, 33, 34, 35	mp3an 1332	. 2 |- Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
37		pp0ex 4175	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } e. _V
38	37	rabex 4133	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. _V
39	38	elon 4359	. 2 |- ( { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
40	36, 39	mpbir 145	1 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   Tr wtr 4087   Ord word 4347   Oncon0 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  ordtri2or2exmid  4555  ontri2orexmidim  4556