Theorem ordtri2or2exmidlem 4558

Description: A set which is 2o if ph or (/) if -. ph is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmidlem	|- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem ordtri2or2exmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. z )
2		noel 3450	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
3		eleq2 2257	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
4	2, 3	mtbiri 676	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> -. y e. z )
6	1, 5	pm2.21dd 621	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
7		eleq2 2257	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { (/) } -> ( y e. z <-> y e. { (/) } ) )
8	7	biimpac 298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) } )
9		velsn 3635	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y = (/) )
11		orc 713	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
12		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
13	12	elpr 3639	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) , { (/) } } <-> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
14	11, 13	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> y e. { (/) , { (/) } } )
15	10, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
16	15	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
17		biidd 172	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> ph ) )
18	17	elrab 2916	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( z e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
19	18	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> ph )
21		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2916	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( y e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
23	16, 20, 22	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
24		elrabi 2913	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> z e. { (/) , { (/) } } )
25		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
26	25	elpr 3639	. . . . . . . 8 |- ( z e. { (/) , { (/) } } <-> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
27	24, 26	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
29	6, 23, 28	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30	29	gen2 1461	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
31		dftr2 4129	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
32	30, 31	mpbir 146	. . 3 |- Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
33		ssrab2 3264	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } }
34		2ordpr 4556	. . 3 |- Ord { (/) , { (/) } }
35		trssord 4411	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } /\ { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } } /\ Ord { (/) , { (/) } } ) -> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
36	32, 33, 34, 35	mp3an 1348	. 2 |- Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
37		pp0ex 4218	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } e. _V
38	37	rabex 4173	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. _V
39	38	elon 4405	. 2 |- ( { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
40	36, 39	mpbir 146	1 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619   Tr wtr 4127   Ord word 4393   Oncon0 4394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402

This theorem is referenced by:  ordtri2or2exmid  4603  ontri2orexmidim  4604