ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtri2or2exmidlem Unicode version

Theorem ordtri2or2exmidlem 4409
Description: A set which is  2o if  ph or  (/) if  -.  ph is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ordtri2or2exmidlem  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On
Distinct variable group:    ph, x

Proof of Theorem ordtri2or2exmidlem
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  (/) )  ->  y  e.  z )
2 noel 3335 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  e.  (/)
3 eleq2 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (/) ) )
42, 3mtbiri 647 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  -.  y  e.  z )
54adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  (/) )  ->  -.  y  e.  z )
61, 5pm2.21dd 592 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  (/) )  ->  y  e.  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph } )
7 eleq2 2179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  {
(/) } ) )
87biimpac 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  =  { (/) } )  ->  y  e.  { (/)
} )
9 velsn 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
108, 9sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  =  { (/) } )  ->  y  =  (/) )
11 orc 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { (/) } ) )
12 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1312elpr 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { (/) ,  { (/)
} }  <->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { (/) } ) )
1411, 13sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
{ (/) ,  { (/) } } )
1510, 14syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  =  { (/) } )  ->  y  e.  { (/)
,  { (/) } }
)
1615adantlr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  { (/) } )  -> 
y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
17 biidd 171 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
1817elrab 2811 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ( z  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  ph ) )
1918simprbi 271 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ph )
2019ad2antlr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  { (/) } )  ->  ph )
21 biidd 171 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
2221elrab 2811 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  ph ) )
2316, 20, 22sylanbrc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  /\  z  =  { (/) } )  -> 
y  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)
24 elrabi 2808 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  z  e.  { (/) ,  { (/) } } )
25 vex 2661 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
2625elpr 3516 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  <->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
2724, 26sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
2827adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)  ->  ( z  =  (/)  \/  z  =  { (/) } ) )
296, 23, 28mpjaodan 770 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)  ->  y  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
3029gen2 1409 . . . 4  |-  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph } )  -> 
y  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)
31 dftr2 3996 . . . 4  |-  ( Tr 
{ x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  <->  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph } )  -> 
y  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
) )
3230, 31mpbir 145 . . 3  |-  Tr  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
33 ssrab2 3150 . . 3  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_ 
{ (/) ,  { (/) } }
34 2ordpr 4407 . . 3  |-  Ord  { (/)
,  { (/) } }
35 trssord 4270 . . 3  |-  ( ( Tr  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  /\  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) ,  { (/) } }  /\  Ord  { (/) ,  { (/) } } )  ->  Ord  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
3632, 33, 34, 35mp3an 1298 . 2  |-  Ord  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
37 pp0ex 4081 . . . 4  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
3837rabex 4040 . . 3  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  _V
3938elon 4264 . 2  |-  ( { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On  <->  Ord  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }
)
4036, 39mpbir 145 1  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   {crab 2395    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495   {cpr 3496   Tr wtr 3994   Ord word 4252   Oncon0 4253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-uni 3705  df-tr 3995  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261
This theorem is referenced by:  ordtri2or2exmid  4454
  Copyright terms: Public domain W3C validator