Theorem ordtri2or2exmidlem 4671

Description: A set which is 2o if ph or (/) if -. ph is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmidlem	|- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem ordtri2or2exmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. z )
2		noel 3525	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
3		eleq2 2302	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
4	2, 3	mtbiri 686	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> -. y e. z )
6	1, 5	pm2.21dd 629	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = (/) ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
7		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { (/) } -> ( y e. z <-> y e. { (/) } ) )
8	7	biimpac 298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) } )
9		velsn 3725	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y = (/) )
11		orc 724	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
12		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
13	12	elpr 3729	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) , { (/) } } <-> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
14	11, 13	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> y e. { (/) , { (/) } } )
15	10, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
16	15	adantlr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { (/) , { (/) } } )
17		biidd 172	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> ph ) )
18	17	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( z e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
19	18	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
20	19	ad2antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> ph )
21		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ( y e. { (/) , { (/) } } /\ ph ) )
23	16, 20, 22	sylanbrc 421	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) /\ z = { (/) } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
24		elrabi 2979	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> z e. { (/) , { (/) } } )
25		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
26	25	elpr 3729	. . . . . . . 8 |- ( z e. { (/) , { (/) } } <-> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
27	24, 26	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( z = (/) \/ z = { (/) } ) )
29	6, 23, 28	mpjaodan 810	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30	29	gen2 1503	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
31		dftr2 4229	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
32	30, 31	mpbir 146	. . 3 |- Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
33		ssrab2 3333	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } }
34		2ordpr 4669	. . 3 |- Ord { (/) , { (/) } }
35		trssord 4523	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) , { (/) } } | ph } /\ { x e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) , { (/) } } /\ Ord { (/) , { (/) } } ) -> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
36	32, 33, 34, 35	mp3an 1378	. 2 |- Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph }
37		pp0ex 4324	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } e. _V
38	37	rabex 4278	. . 3 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. _V
39	38	elon 4517	. 2 |- ( { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) , { (/) } } | ph } )
40	36, 39	mpbir 146	1 |- { x e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3708   {cpr 3709   Tr wtr 4227   Ord word 4505   Oncon0 4506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-tr 4228  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514

This theorem is referenced by:  ordtri2or2exmid  4716  ontri2orexmidim  4717