ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordom Unicode version

Theorem ordom 4591
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4590 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
21gen2 1443 . . 3  |-  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
3 dftr2 4089 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e. 
om )  ->  x  e.  om ) )
42, 3mpbir 145 . 2  |-  Tr  om
5 treq 4093 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( Tr  y  <->  Tr  (/) ) )
6 treq 4093 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( Tr  y  <->  Tr  x )
)
7 treq 4093 . . . 4  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( Tr  y  <->  Tr  suc  x
) )
8 tr0 4098 . . . 4  |-  Tr  (/)
9 suctr 4406 . . . . 5  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
109a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x ) )
115, 6, 7, 6, 8, 10finds 4584 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  Tr  x )
1211rgen 2523 . 2  |-  A. x  e.  om  Tr  x
13 dford3 4352 . 2  |-  ( Ord 
om 
<->  ( Tr  om  /\  A. x  e.  om  Tr  x ) )
144, 12, 13mpbir2an 937 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1346    e. wcel 2141   A.wral 2448   (/)c0 3414   Tr wtr 4087   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-suc 4356  df-iom 4575
This theorem is referenced by:  omelon2  4592  limom  4598  freccllem  6381  frecfcllem  6383  frecsuclem  6385  fict  6846  infnfi  6873  isinfinf  6875  hashinfuni  10711  hashinfom  10712  hashennn  10714  ennnfonelemrn  12374  ctinf  12385
  Copyright terms: Public domain W3C validator