Theorem ordom 4584

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4583	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1438	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4082	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 145	. 2 |- Tr om
5		treq 4086	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4086	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4086	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4091	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4399	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4577	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2519	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4345	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 932	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1341   e. wcel 2136   A.wral 2444   (/)c0 3409   Tr wtr 4080   Ord word 4340   suc csuc 4343   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  omelon2  4585  limom  4591  freccllem  6370  frecfcllem  6372  frecsuclem  6374  fict  6834  infnfi  6861  isinfinf  6863  hashinfuni  10690  hashinfom  10691  hashennn  10693  ennnfonelemrn  12352  ctinf  12363