Theorem ordom 4605

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4604	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1450	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4102	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4106	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4106	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4106	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4111	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4420	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4598	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2530	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4366	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 942	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   e. wcel 2148   A.wral 2455   (/)c0 3422   Tr wtr 4100   Ord word 4361   suc csuc 4364   omcom 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-tr 4101  df-iord 4365  df-suc 4370  df-iom 4589

This theorem is referenced by:  omelon2  4606  limom  4612  freccllem  6400  frecfcllem  6402  frecsuclem  6404  fict  6865  infnfi  6892  isinfinf  6894  hashinfuni  10750  hashinfom  10751  hashennn  10753  ennnfonelemrn  12412  ctinf  12423