Theorem ordom 4639

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4638	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1461	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4129	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4133	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4133	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4133	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4138	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4452	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4632	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2547	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4398	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 944	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   e. wcel 2164   A.wral 2472   (/)c0 3446   Tr wtr 4127   Ord word 4393   suc csuc 4396   omcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-tr 4128  df-iord 4397  df-suc 4402  df-iom 4623

This theorem is referenced by:  omelon2  4640  limom  4646  freccllem  6455  frecfcllem  6457  frecsuclem  6459  fict  6924  infnfi  6951  isinfinf  6953  hashinfuni  10848  hashinfom  10849  hashennn  10851  ennnfonelemrn  12576  ctinf  12587