ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordom Unicode version

Theorem ordom 4490
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4489 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
21gen2 1411 . . 3  |-  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
3 dftr2 3998 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e. 
om )  ->  x  e.  om ) )
42, 3mpbir 145 . 2  |-  Tr  om
5 treq 4002 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( Tr  y  <->  Tr  (/) ) )
6 treq 4002 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( Tr  y  <->  Tr  x )
)
7 treq 4002 . . . 4  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( Tr  y  <->  Tr  suc  x
) )
8 tr0 4007 . . . 4  |-  Tr  (/)
9 suctr 4313 . . . . 5  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
109a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x ) )
115, 6, 7, 6, 8, 10finds 4484 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  Tr  x )
1211rgen 2462 . 2  |-  A. x  e.  om  Tr  x
13 dford3 4259 . 2  |-  ( Ord 
om 
<->  ( Tr  om  /\  A. x  e.  om  Tr  x ) )
144, 12, 13mpbir2an 911 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1314    e. wcel 1465   A.wral 2393   (/)c0 3333   Tr wtr 3996   Ord word 4254   suc csuc 4257   omcom 4474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-int 3742  df-tr 3997  df-iord 4258  df-suc 4263  df-iom 4475
This theorem is referenced by:  omelon2  4491  limom  4497  freccllem  6267  frecfcllem  6269  frecsuclem  6271  fict  6730  infnfi  6757  isinfinf  6759  hashinfuni  10491  hashinfom  10492  hashennn  10494  ennnfonelemrn  11859  ctinf  11870
  Copyright terms: Public domain W3C validator