ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordom Unicode version

Theorem ordom 4607
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4606 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
21gen2 1450 . . 3  |-  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
3 dftr2 4104 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e. 
om )  ->  x  e.  om ) )
42, 3mpbir 146 . 2  |-  Tr  om
5 treq 4108 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( Tr  y  <->  Tr  (/) ) )
6 treq 4108 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( Tr  y  <->  Tr  x )
)
7 treq 4108 . . . 4  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( Tr  y  <->  Tr  suc  x
) )
8 tr0 4113 . . . 4  |-  Tr  (/)
9 suctr 4422 . . . . 5  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
109a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x ) )
115, 6, 7, 6, 8, 10finds 4600 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  Tr  x )
1211rgen 2530 . 2  |-  A. x  e.  om  Tr  x
13 dford3 4368 . 2  |-  ( Ord 
om 
<->  ( Tr  om  /\  A. x  e.  om  Tr  x ) )
144, 12, 13mpbir2an 942 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104   A.wal 1351    e. wcel 2148   A.wral 2455   (/)c0 3423   Tr wtr 4102   Ord word 4363   suc csuc 4366   omcom 4590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-int 3846  df-tr 4103  df-iord 4367  df-suc 4372  df-iom 4591
This theorem is referenced by:  omelon2  4608  limom  4614  freccllem  6403  frecfcllem  6405  frecsuclem  6407  fict  6868  infnfi  6895  isinfinf  6897  hashinfuni  10757  hashinfom  10758  hashennn  10760  ennnfonelemrn  12420  ctinf  12431
  Copyright terms: Public domain W3C validator