Theorem ordom 4705

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4704	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1498	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4189	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4193	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4193	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4193	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4198	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4518	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4698	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2585	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4464	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 950	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1395   e. wcel 2202   A.wral 2510   (/)c0 3494   Tr wtr 4187   Ord word 4459   suc csuc 4462   omcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  omelon2  4706  limom  4712  freccllem  6567  frecfcllem  6569  frecsuclem  6571  fict  7054  infnfi  7083  isinfinf  7085  hashinfuni  11038  hashinfom  11039  hashennn  11041  ennnfonelemrn  13039  ctinf  13050