Theorem ordom 4528

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4527	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1427	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4036	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 145	. 2 |- Tr om
5		treq 4040	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4040	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4040	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4045	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4351	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4522	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2488	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4297	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 927	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1330   e. wcel 1481   A.wral 2417   (/)c0 3368   Tr wtr 4034   Ord word 4292   suc csuc 4295   omcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-tr 4035  df-iord 4296  df-suc 4301  df-iom 4513

This theorem is referenced by:  omelon2  4529  limom  4535  freccllem  6307  frecfcllem  6309  frecsuclem  6311  fict  6770  infnfi  6797  isinfinf  6799  hashinfuni  10555  hashinfom  10556  hashennn  10558  ennnfonelemrn  11968  ctinf  11979