Theorem ordom 4673

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4672	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1474	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4160	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4164	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4164	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4164	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4169	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4486	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4666	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2561	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4432	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 945	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   e. wcel 2178   A.wral 2486   (/)c0 3468   Tr wtr 4158   Ord word 4427   suc csuc 4430   omcom 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-tr 4159  df-iord 4431  df-suc 4436  df-iom 4657

This theorem is referenced by:  omelon2  4674  limom  4680  freccllem  6511  frecfcllem  6513  frecsuclem  6515  fict  6991  infnfi  7018  isinfinf  7020  hashinfuni  10959  hashinfom  10960  hashennn  10962  ennnfonelemrn  12905  ctinf  12916