Theorem ordom 4749

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4748	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1503	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4226	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4230	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4230	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4230	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4235	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4561	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4742	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2603	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4507	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 955	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   e. wcel 2209   A.wral 2528   (/)c0 3520   Tr wtr 4224   Ord word 4502   suc csuc 4505   omcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-tr 4225  df-iord 4506  df-suc 4511  df-iom 4733

This theorem is referenced by:  omelon2  4750  limom  4756  freccllem  6663  frecfcllem  6665  frecsuclem  6667  fict  7160  infnfi  7189  isinfinf  7191  hashinfuni  11194  hashinfom  11195  hashennn  11197  ennnfonelemrn  13288  ctinf  13299