Theorem ordom 4640

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4639	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1461	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4130	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4134	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4134	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4134	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4139	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4453	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4633	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2547	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4399	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 944	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   e. wcel 2164   A.wral 2472   (/)c0 3447   Tr wtr 4128   Ord word 4394   suc csuc 4397   omcom 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-tr 4129  df-iord 4398  df-suc 4403  df-iom 4624

This theorem is referenced by:  omelon2  4641  limom  4647  freccllem  6457  frecfcllem  6459  frecsuclem  6461  fict  6926  infnfi  6953  isinfinf  6955  hashinfuni  10851  hashinfom  10852  hashennn  10854  ennnfonelemrn  12579  ctinf  12590