Theorem ordom 4711

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4710	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1499	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4194	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4198	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4198	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4198	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4203	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4524	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4704	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2586	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4470	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 951	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   e. wcel 2202   A.wral 2511   (/)c0 3496   Tr wtr 4192   Ord word 4465   suc csuc 4468   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-suc 4474  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  omelon2  4712  limom  4718  freccllem  6611  frecfcllem  6613  frecsuclem  6615  fict  7098  infnfi  7127  isinfinf  7129  hashinfuni  11102  hashinfom  11103  hashennn  11105  ennnfonelemrn  13120  ctinf  13131