Theorem ordom 4620

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4619	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1460	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4117	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4121	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4121	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4121	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4126	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4435	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4613	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2542	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4381	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 943	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1361   e. wcel 2159   A.wral 2467   (/)c0 3436   Tr wtr 4115   Ord word 4376   suc csuc 4379   omcom 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-uni 3824  df-int 3859  df-tr 4116  df-iord 4380  df-suc 4385  df-iom 4604

This theorem is referenced by:  omelon2  4621  limom  4627  freccllem  6420  frecfcllem  6422  frecsuclem  6424  fict  6885  infnfi  6912  isinfinf  6914  hashinfuni  10774  hashinfom  10775  hashennn  10777  ennnfonelemrn  12437  ctinf  12448