Theorem ordom 4656

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4655	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1473	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4145	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4149	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4149	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4149	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4154	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4469	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4649	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2559	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4415	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 945	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   e. wcel 2176   A.wral 2484   (/)c0 3460   Tr wtr 4143   Ord word 4410   suc csuc 4413   omcom 4639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4144  df-iord 4414  df-suc 4419  df-iom 4640

This theorem is referenced by:  omelon2  4657  limom  4663  freccllem  6490  frecfcllem  6492  frecsuclem  6494  fict  6967  infnfi  6994  isinfinf  6996  hashinfuni  10924  hashinfom  10925  hashennn  10927  ennnfonelemrn  12823  ctinf  12834