Theorem ordom 4699

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4698	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1496	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4184	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4188	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4188	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4188	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4193	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4512	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4692	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2583	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4458	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 948	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   e. wcel 2200   A.wral 2508   (/)c0 3491   Tr wtr 4182   Ord word 4453   suc csuc 4456   omcom 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-tr 4183  df-iord 4457  df-suc 4462  df-iom 4683

This theorem is referenced by:  omelon2  4700  limom  4706  freccllem  6548  frecfcllem  6550  frecsuclem  6552  fict  7030  infnfi  7057  isinfinf  7059  hashinfuni  10999  hashinfom  11000  hashennn  11002  ennnfonelemrn  12990  ctinf  13001