Theorem ordom 4591

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4590	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1443	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4089	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 145	. 2 |- Tr om
5		treq 4093	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4093	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4093	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4098	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4406	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4584	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2523	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4352	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 937	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   e. wcel 2141   A.wral 2448   (/)c0 3414   Tr wtr 4087   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-suc 4356  df-iom 4575

This theorem is referenced by:  omelon2  4592  limom  4598  freccllem  6381  frecfcllem  6383  frecsuclem  6385  fict  6846  infnfi  6873  isinfinf  6875  hashinfuni  10711  hashinfom  10712  hashennn  10714  ennnfonelemrn  12374  ctinf  12385