Theorem ordom 4734

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4733	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1499	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4215	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4219	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4219	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4219	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4224	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4547	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4727	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2597	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4493	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 951	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   e. wcel 2205   A.wral 2522   (/)c0 3512   Tr wtr 4213   Ord word 4488   suc csuc 4491   omcom 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-tr 4214  df-iord 4492  df-suc 4497  df-iom 4718

This theorem is referenced by:  omelon2  4735  limom  4741  freccllem  6646  frecfcllem  6648  frecsuclem  6650  fict  7136  infnfi  7165  isinfinf  7167  hashinfuni  11165  hashinfom  11166  hashennn  11168  ennnfonelemrn  13254  ctinf  13265