Theorem ordom 4644

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4643	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1464	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4134	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 146	. 2 |- Tr om
5		treq 4138	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4138	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4138	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4143	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4457	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4637	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2550	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4403	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 944	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   e. wcel 2167   A.wral 2475   (/)c0 3451   Tr wtr 4132   Ord word 4398   suc csuc 4401   omcom 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-tr 4133  df-iord 4402  df-suc 4407  df-iom 4628

This theorem is referenced by:  omelon2  4645  limom  4651  freccllem  6469  frecfcllem  6471  frecsuclem  6473  fict  6938  infnfi  6965  isinfinf  6967  hashinfuni  10886  hashinfom  10887  hashennn  10889  ennnfonelemrn  12661  ctinf  12672