ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordom Unicode version

Theorem ordom 4488
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4487 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
21gen2 1409 . . 3  |-  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
3 dftr2 3996 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e. 
om )  ->  x  e.  om ) )
42, 3mpbir 145 . 2  |-  Tr  om
5 treq 4000 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( Tr  y  <->  Tr  (/) ) )
6 treq 4000 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( Tr  y  <->  Tr  x )
)
7 treq 4000 . . . 4  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( Tr  y  <->  Tr  suc  x
) )
8 tr0 4005 . . . 4  |-  Tr  (/)
9 suctr 4311 . . . . 5  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
109a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x ) )
115, 6, 7, 6, 8, 10finds 4482 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  Tr  x )
1211rgen 2460 . 2  |-  A. x  e.  om  Tr  x
13 dford3 4257 . 2  |-  ( Ord 
om 
<->  ( Tr  om  /\  A. x  e.  om  Tr  x ) )
144, 12, 13mpbir2an 909 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    e. wcel 1463   A.wral 2391   (/)c0 3331   Tr wtr 3994   Ord word 4252   suc csuc 4255   omcom 4472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-uni 3705  df-int 3740  df-tr 3995  df-iord 4256  df-suc 4261  df-iom 4473
This theorem is referenced by:  omelon2  4489  limom  4495  freccllem  6265  frecfcllem  6267  frecsuclem  6269  fict  6728  infnfi  6755  isinfinf  6757  hashinfuni  10463  hashinfom  10464  hashennn  10466  ennnfonelemrn  11827  ctinf  11838
  Copyright terms: Public domain W3C validator