Theorem ordom 4568

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4567	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1430	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4066	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 145	. 2 |- Tr om
5		treq 4070	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4070	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4070	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4075	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4383	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4561	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2510	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4329	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 927	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1333   e. wcel 2128   A.wral 2435   (/)c0 3395   Tr wtr 4064   Ord word 4324   suc csuc 4327   omcom 4551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-iinf 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-uni 3775  df-int 3810  df-tr 4065  df-iord 4328  df-suc 4333  df-iom 4552

This theorem is referenced by:  omelon2  4569  limom  4575  freccllem  6351  frecfcllem  6353  frecsuclem  6355  fict  6815  infnfi  6842  isinfinf  6844  hashinfuni  10662  hashinfom  10663  hashennn  10665  ennnfonelemrn  12218  ctinf  12229