Theorem dmfex 5406

Description: If a mapping is a set, its domain is a set. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmfex	|- ( ( F e. C /\ F : A --> B ) -> A e. _V )

Proof of Theorem dmfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5372	. . 3 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
2		dmexg 4892	. . . 4 |- ( F e. C -> dom F e. _V )
3		eleq1 2240	. . . 4 |- ( dom F = A -> ( dom F e. _V <-> A e. _V ) )
4	2, 3	imbitrid 154	. . 3 |- ( dom F = A -> ( F e. C -> A e. _V ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F e. C -> A e. _V ) )
6	5	impcom 125	1 |- ( ( F e. C /\ F : A --> B ) -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   dom cdm 4627   -->wf 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-cnv 4635  df-dm 4637  df-rn 4638  df-fn 5220  df-f 5221

This theorem is referenced by:  fopwdom  6836