Theorem dmfex 5371

Description: If a mapping is a set, its domain is a set. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmfex	|- ( ( F e. C /\ F : A --> B ) -> A e. _V )

Proof of Theorem dmfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5337	. . 3 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
2		dmexg 4862	. . . 4 |- ( F e. C -> dom F e. _V )
3		eleq1 2227	. . . 4 |- ( dom F = A -> ( dom F e. _V <-> A e. _V ) )
4	2, 3	syl5ib 153	. . 3 |- ( dom F = A -> ( F e. C -> A e. _V ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F e. C -> A e. _V ) )
6	5	impcom 124	1 |- ( ( F e. C /\ F : A --> B ) -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   dom cdm 4598   -->wf 5178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-cnv 4606  df-dm 4608  df-rn 4609  df-fn 5185  df-f 5186

This theorem is referenced by:  fopwdom  6793