Theorem dmexg 5048

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4587	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4587	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3392	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 5047	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3257	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 4274	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 428	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   U.cuni 3935   dom cdm 4776   ran crn 4777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787

This theorem is used by:  dmexd  5050  dmex  5051  iprc  5053  xpexcnvm  5145  exse2  5164  xpexr2m  5232  elxp4  5278  cnvexg  5328  coexg  5335  dmfex  5585  ofovex  6311  cofunexg  6342  offval3  6371  1stvalg  6380  opabn1stprc  6433  suppval  6481  funsssuppss  6502  tposexg  6533  erexb  6836  f1vrnfibi  7263  fun2dmnop0  11324  shftfvalg  11605  ennnfonelemp1  13355  ptex  13677  prdsex  14279  prdsval  14280  prdsbaslemss  14281  prdsbas  14283  xmetunirn  15584