Theorem dmexg 4943

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4487	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4487	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3336	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4942	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3202	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 4184	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   C_ wss 3166   U.cuni 3850   dom cdm 4676   ran crn 4677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-cnv 4684  df-dm 4686  df-rn 4687

This theorem is referenced by:  dmexd  4945  dmex  4946  iprc  4948  exse2  5057  xpexr2m  5125  elxp4  5171  cnvexg  5221  coexg  5228  dmfex  5467  cofunexg  6196  offval3  6221  1stvalg  6230  tposexg  6346  erexb  6647  f1vrnfibi  7049  fun2dmnop0  10994  shftfvalg  11162  ennnfonelemp1  12810  ptex  13129  prdsex  13134  prdsval  13138  prdsbaslemss  13139  prdsbas  13141  xmetunirn  14863