Theorem dmexg 4961

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4504	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4504	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3344	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4960	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3210	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 4199	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   C_ wss 3174   U.cuni 3864   dom cdm 4693   ran crn 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704

This theorem is referenced by:  dmexd  4963  dmex  4964  iprc  4966  exse2  5075  xpexr2m  5143  elxp4  5189  cnvexg  5239  coexg  5246  dmfex  5487  cofunexg  6217  offval3  6242  1stvalg  6251  tposexg  6367  erexb  6668  f1vrnfibi  7073  fun2dmnop0  11029  shftfvalg  11244  ennnfonelemp1  12892  ptex  13211  prdsex  13216  prdsval  13220  prdsbaslemss  13221  prdsbas  13223  xmetunirn  14945