Theorem dmexg 4942

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4486	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4486	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3336	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4941	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3202	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 4183	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   C_ wss 3166   U.cuni 3850   dom cdm 4675   ran crn 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686

This theorem is referenced by:  dmexd  4944  dmex  4945  iprc  4947  exse2  5056  xpexr2m  5124  elxp4  5170  cnvexg  5220  coexg  5227  dmfex  5465  cofunexg  6194  offval3  6219  1stvalg  6228  tposexg  6344  erexb  6645  f1vrnfibi  7047  fun2dmnop0  10992  shftfvalg  11129  ennnfonelemp1  12777  ptex  13096  prdsex  13101  prdsval  13105  prdsbaslemss  13106  prdsbas  13108  xmetunirn  14830