Theorem dmexg 4912

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4460	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4460	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3313	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4911	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3179	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 4160	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   u. cun 3142   C_ wss 3144   U.cuni 3827   dom cdm 4647   ran crn 4648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-cnv 4655  df-dm 4657  df-rn 4658

This theorem is referenced by:  dmex  4914  iprc  4916  exse2  5023  xpexr2m  5091  elxp4  5137  cnvexg  5187  coexg  5194  dmfex  5427  cofunexg  6138  offval3  6163  1stvalg  6171  tposexg  6287  erexb  6588  f1vrnfibi  6978  shftfvalg  10868  ennnfonelemp1  12468  ptex  12780  prdsex  12785  xmetunirn  14343