Theorem dmexg 4927

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4471	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4471	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3323	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4926	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3189	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 4169	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3152   C_ wss 3154   U.cuni 3836   dom cdm 4660   ran crn 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671

This theorem is referenced by:  dmex  4929  iprc  4931  exse2  5040  xpexr2m  5108  elxp4  5154  cnvexg  5204  coexg  5211  dmfex  5444  cofunexg  6163  offval3  6188  1stvalg  6197  tposexg  6313  erexb  6614  f1vrnfibi  7006  shftfvalg  10965  ennnfonelemp1  12566  ptex  12878  prdsex  12883  xmetunirn  14537