Theorem dmexg 4697

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4265	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 4265	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3163	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 4696	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3034	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 3978	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 415	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   u. cun 2997   C_ wss 2999   U.cuni 3653   dom cdm 4438   ran crn 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449

This theorem is referenced by:  dmex  4699  iprc  4701  exse2  4806  xpexr2m  4872  elxp4  4918  cnvexg  4968  coexg  4975  dmfex  5200  cofunexg  5882  offval3  5905  1stvalg  5913  tposexg  6023  erexb  6317  f1vrnfibi  6654  shftfvalg  10252