Theorem f0 5488

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	|- (/) : (/) --> A

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . 3 |- (/) = (/)
2		fn0 5415	. . 3 |- ( (/) Fn (/) <-> (/) = (/) )
3	1, 2	mpbir 146	. 2 |- (/) Fn (/)
4		rn0 4953	. . 3 |- ran (/) = (/)
5		0ss 3507	. . 3 |- (/) C_ A
6	4, 5	eqsstri 3233	. 2 |- ran (/) C_ A
7		df-f 5294	. 2 |- ( (/) : (/) --> A <-> ( (/) Fn (/) /\ ran (/) C_ A ) )
8	3, 6, 7	mpbir2an 945	1 |- (/) : (/) --> A

Syntax hints:   = wceq 1373   C_ wss 3174   (/)c0 3468   ran crn 4694   Fn wfn 5285   -->wf 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294

This theorem is referenced by:  f00  5489  f0bi  5490  f10  5578  map0g  6798  ac6sfi  7021  wrd0  11056  gsum0g  13343  0met  14971  uhgr0e  15793  uhgr0  15796