Theorem f0 5466

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	|- (/) : (/) --> A

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- (/) = (/)
2		fn0 5395	. . 3 |- ( (/) Fn (/) <-> (/) = (/) )
3	1, 2	mpbir 146	. 2 |- (/) Fn (/)
4		rn0 4934	. . 3 |- ran (/) = (/)
5		0ss 3499	. . 3 |- (/) C_ A
6	4, 5	eqsstri 3225	. 2 |- ran (/) C_ A
7		df-f 5275	. 2 |- ( (/) : (/) --> A <-> ( (/) Fn (/) /\ ran (/) C_ A ) )
8	3, 6, 7	mpbir2an 945	1 |- (/) : (/) --> A

Syntax hints:   = wceq 1373   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ran crn 4676   Fn wfn 5266   -->wf 5267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275

This theorem is referenced by:  f00  5467  f0bi  5468  f10  5556  map0g  6775  ac6sfi  6995  wrd0  11019  gsum0g  13228  0met  14856