Theorem f0 5406

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	|- (/) : (/) --> A

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- (/) = (/)
2		fn0 5335	. . 3 |- ( (/) Fn (/) <-> (/) = (/) )
3	1, 2	mpbir 146	. 2 |- (/) Fn (/)
4		rn0 4883	. . 3 |- ran (/) = (/)
5		0ss 3461	. . 3 |- (/) C_ A
6	4, 5	eqsstri 3187	. 2 |- ran (/) C_ A
7		df-f 5220	. 2 |- ( (/) : (/) --> A <-> ( (/) Fn (/) /\ ran (/) C_ A ) )
8	3, 6, 7	mpbir2an 942	1 |- (/) : (/) --> A

Syntax hints:   = wceq 1353   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ran crn 4627   Fn wfn 5211   -->wf 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220

This theorem is referenced by:  f00  5407  f0bi  5408  f10  5495  map0g  6687  ac6sfi  6897  0met  13820