Theorem f0 5353

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	|- (/) : (/) --> A

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2154	. . 3 |- (/) = (/)
2		fn0 5282	. . 3 |- ( (/) Fn (/) <-> (/) = (/) )
3	1, 2	mpbir 145	. 2 |- (/) Fn (/)
4		rn0 4835	. . 3 |- ran (/) = (/)
5		0ss 3428	. . 3 |- (/) C_ A
6	4, 5	eqsstri 3156	. 2 |- ran (/) C_ A
7		df-f 5167	. 2 |- ( (/) : (/) --> A <-> ( (/) Fn (/) /\ ran (/) C_ A ) )
8	3, 6, 7	mpbir2an 927	1 |- (/) : (/) --> A

Syntax hints:   = wceq 1332   C_ wss 3098   (/)c0 3390   ran crn 4580   Fn wfn 5158   -->wf 5159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167

This theorem is referenced by:  f00  5354  f0bi  5355  f10  5441  map0g  6622  ac6sfi  6832  0met  12731