Theorem dmfex 5465

Description: If a mapping is a set, its domain is a set. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmfex	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem dmfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5431	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2		dmexg 4942	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → dom 𝐹 ∈ V)
3		eleq1 2268	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
4	2, 3	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V))
6	5	impcom 125	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772  dom cdm 4675  ⟶wf 5267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fn 5274  df-f 5275

This theorem is referenced by:  fopwdom  6933