Theorem dmin 4905

Description: The domain of an intersection belong to the intersection of domains. Theorem 6 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmin	|- dom ( A i^i B ) C_ ( dom A i^i dom B )

Proof of Theorem dmin

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1655	. . 3 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) -> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
2		vex 2779	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm2 4895	. . . 4 |- ( x e. dom ( A i^i B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A i^i B ) )
4		elin 3364	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A i^i B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
5	4	exbii 1629	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A i^i B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
6	3, 5	bitri 184	. . 3 |- ( x e. dom ( A i^i B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
7		elin 3364	. . . 4 |- ( x e. ( dom A i^i dom B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. dom B ) )
8	2	eldm2 4895	. . . . 5 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
9	2	eldm2 4895	. . . . 5 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
10	8, 9	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ x e. dom B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
11	7, 10	bitri 184	. . 3 |- ( x e. ( dom A i^i dom B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
12	1, 6, 11	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. dom ( A i^i B ) -> x e. ( dom A i^i dom B ) )
13	12	ssriv 3205	1 |- dom ( A i^i B ) C_ ( dom A i^i dom B )

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1516   e. wcel 2178   i^i cin 3173   C_ wss 3174   <.cop 3646   dom cdm 4693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-dm 4703

This theorem is referenced by:  rnin  5111