Theorem dmin 4819

Description: The domain of an intersection belong to the intersection of domains. Theorem 6 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmin	|- dom ( A i^i B ) C_ ( dom A i^i dom B )

Proof of Theorem dmin

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1624	. . 3 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) -> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
2		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm2 4809	. . . 4 |- ( x e. dom ( A i^i B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A i^i B ) )
4		elin 3310	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A i^i B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
5	4	exbii 1598	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A i^i B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
6	3, 5	bitri 183	. . 3 |- ( x e. dom ( A i^i B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
7		elin 3310	. . . 4 |- ( x e. ( dom A i^i dom B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. dom B ) )
8	2	eldm2 4809	. . . . 5 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
9	2	eldm2 4809	. . . . 5 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
10	8, 9	anbi12i 457	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ x e. dom B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
11	7, 10	bitri 183	. . 3 |- ( x e. ( dom A i^i dom B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
12	1, 6, 11	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. dom ( A i^i B ) -> x e. ( dom A i^i dom B ) )
13	12	ssriv 3151	1 |- dom ( A i^i B ) C_ ( dom A i^i dom B )

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1485   e. wcel 2141   i^i cin 3120   C_ wss 3121   <.cop 3586   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-dm 4621

This theorem is referenced by:  rnin  5020