Theorem dmin 4886

Description: The domain of an intersection belong to the intersection of domains. Theorem 6 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmin	|- dom ( A i^i B ) C_ ( dom A i^i dom B )

Proof of Theorem dmin

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1654	. . 3 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) -> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
2		vex 2775	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm2 4876	. . . 4 |- ( x e. dom ( A i^i B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A i^i B ) )
4		elin 3356	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A i^i B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
5	4	exbii 1628	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A i^i B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
6	3, 5	bitri 184	. . 3 |- ( x e. dom ( A i^i B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
7		elin 3356	. . . 4 |- ( x e. ( dom A i^i dom B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. dom B ) )
8	2	eldm2 4876	. . . . 5 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
9	2	eldm2 4876	. . . . 5 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
10	8, 9	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ x e. dom B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
11	7, 10	bitri 184	. . 3 |- ( x e. ( dom A i^i dom B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
12	1, 6, 11	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. dom ( A i^i B ) -> x e. ( dom A i^i dom B ) )
13	12	ssriv 3197	1 |- dom ( A i^i B ) C_ ( dom A i^i dom B )

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1515   e. wcel 2176   i^i cin 3165   C_ wss 3166   <.cop 3636   dom cdm 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-dm 4685

This theorem is referenced by:  rnin  5092