Theorem eldm2 4860

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	|- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldm2g 4858	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   <.cop 3621   dom cdm 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-dm 4669

This theorem is referenced by:  dmss  4861  opeldm  4865  dmin  4870  dmiun  4871  dmuni  4872  dm0  4876  reldm0  4880  dmrnssfld  4925  dmcoss  4931  dmcosseq  4933  dmres  4963  iss  4988  dmxpss  5096  dmsnopg  5137  relssdmrn  5186  funssres  5296  fun11iun  5521  tfrlemibxssdm  6380  tfr1onlembxssdm  6396  tfrcllembxssdm  6409  fnpr2ob  12923