Theorem eldm2 4959

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	|- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldm2g 4957	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3697   dom cdm 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-dm 4764

This theorem is referenced by:  dmss  4960  opeldm  4964  dmin  4969  dmiun  4970  dmuni  4971  dm0  4975  reldm0  4979  reldmm  4980  dmrnssfld  5025  dmcoss  5032  dmcosseq  5034  dmres  5064  iss  5089  dmxpss  5198  dmsnopg  5239  relssdmrn  5288  funssres  5400  fun11iun  5640  tfrlemibxssdm  6571  tfr1onlembxssdm  6587  tfrcllembxssdm  6600  fnpr2ob  13604