Theorem eldm2 4843

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	|- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldm2g 4841	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1503   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   dom cdm 4644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-dm 4654

This theorem is referenced by:  dmss  4844  opeldm  4848  dmin  4853  dmiun  4854  dmuni  4855  dm0  4859  reldm0  4863  dmrnssfld  4908  dmcoss  4914  dmcosseq  4916  dmres  4946  iss  4971  dmxpss  5077  dmsnopg  5118  relssdmrn  5167  funssres  5277  fun11iun  5501  tfrlemibxssdm  6352  tfr1onlembxssdm  6368  tfrcllembxssdm  6381  fnpr2ob  12816