Theorem eldm2 4927

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	|- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldm2g 4925	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   <.cop 3670   dom cdm 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-dm 4733

This theorem is referenced by:  dmss  4928  opeldm  4932  dmin  4937  dmiun  4938  dmuni  4939  dm0  4943  reldm0  4947  reldmm  4948  dmrnssfld  4993  dmcoss  5000  dmcosseq  5002  dmres  5032  iss  5057  dmxpss  5165  dmsnopg  5206  relssdmrn  5255  funssres  5366  fun11iun  5601  tfrlemibxssdm  6488  tfr1onlembxssdm  6504  tfrcllembxssdm  6517  fnpr2ob  13413