Theorem eldm2 4981

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	|- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldm2g 4979	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   dom cdm 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-dm 4786

This theorem is used by:  dmss  4982  opeldm  4986  dmin  4991  dmiun  4992  dmuni  4993  dm0  4997  reldm0  5001  reldmm  5002  dmrnssfld  5047  dmcoss  5054  dmcosseq  5056  dmres  5086  iss  5112  dmxpss  5221  dmsnopg  5262  relssdmrn  5311  funssres  5423  fun11iun  5663  tfrlemibxssdm  6602  tfr1onlembxssdm  6618  tfrcllembxssdm  6631  fnpr2ob  13720  gsum2d2fi  14274