Theorem dmiun 4940

Description: The domain of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmiun	|- dom U_ x e. A B = U_ x e. A dom B

Proof of Theorem dmiun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2826	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z <. y , z >. e. B <-> E. z E. x e. A <. y , z >. e. B )
2		vex 2805	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	eldm2 4929	. . . . 5 |- ( y e. dom B <-> E. z <. y , z >. e. B )
4	3	rexbii 2539	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. dom B <-> E. x e. A E. z <. y , z >. e. B )
5		eliun 3974	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. y , z >. e. B )
6	5	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. z E. x e. A <. y , z >. e. B )
7	1, 4, 6	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. dom B )
8	2	eldm2 4929	. . 3 |- ( y e. dom U_ x e. A B <-> E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B )
9		eliun 3974	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A dom B <-> E. x e. A y e. dom B )
10	7, 8, 9	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. dom U_ x e. A B <-> y e. U_ x e. A dom B )
11	10	eqriv 2228	1 |- dom U_ x e. A B = U_ x e. A dom B

Syntax hints:   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   E.wrex 2511   <.cop 3672   U_ciun 3970   dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-iun 3972  df-br 4089  df-dm 4735

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  13040