ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmiun Unicode version

Theorem dmiun 4748
Description: The domain of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmiun  |-  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  dom  B

Proof of Theorem dmiun
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2709 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z <. y ,  z
>.  e.  B  <->  E. z E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
2 vex 2689 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
32eldm2 4737 . . . . 5  |-  ( y  e.  dom  B  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  B )
43rexbii 2442 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  dom  B  <->  E. x  e.  A  E. z <. y ,  z >.  e.  B )
5 eliun 3817 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
65exbii 1584 . . . 4  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. z E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
71, 4, 63bitr4ri 212 . . 3  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  B )
82eldm2 4737 . . 3  |-  ( y  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B )
9 eliun 3817 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  dom  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  B )
107, 8, 93bitr4i 211 . 2  |-  ( y  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  y  e.  U_ x  e.  A  dom  B )
1110eqriv 2136 1  |-  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  dom  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   E.wrex 2417   <.cop 3530   U_ciun 3813   dom cdm 4539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-iun 3815  df-br 3930  df-dm 4549
This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  11944
  Copyright terms: Public domain W3C validator