Theorem dmiun 4756

Description: The domain of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmiun	|- dom U_ x e. A B = U_ x e. A dom B

Proof of Theorem dmiun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2712	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z <. y , z >. e. B <-> E. z E. x e. A <. y , z >. e. B )
2		vex 2692	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	eldm2 4745	. . . . 5 |- ( y e. dom B <-> E. z <. y , z >. e. B )
4	3	rexbii 2445	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. dom B <-> E. x e. A E. z <. y , z >. e. B )
5		eliun 3825	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. y , z >. e. B )
6	5	exbii 1585	. . . 4 |- ( E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. z E. x e. A <. y , z >. e. B )
7	1, 4, 6	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. dom B )
8	2	eldm2 4745	. . 3 |- ( y e. dom U_ x e. A B <-> E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B )
9		eliun 3825	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A dom B <-> E. x e. A y e. dom B )
10	7, 8, 9	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. dom U_ x e. A B <-> y e. U_ x e. A dom B )
11	10	eqriv 2137	1 |- dom U_ x e. A B = U_ x e. A dom B

Syntax hints:   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E.wrex 2418   <.cop 3535   U_ciun 3821   dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-iun 3823  df-br 3938  df-dm 4557

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  11969