Theorem dmiun 4875

Description: The domain of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmiun	|- dom U_ x e. A B = U_ x e. A dom B

Proof of Theorem dmiun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2786	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z <. y , z >. e. B <-> E. z E. x e. A <. y , z >. e. B )
2		vex 2766	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	eldm2 4864	. . . . 5 |- ( y e. dom B <-> E. z <. y , z >. e. B )
4	3	rexbii 2504	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. dom B <-> E. x e. A E. z <. y , z >. e. B )
5		eliun 3920	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. y , z >. e. B )
6	5	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. z E. x e. A <. y , z >. e. B )
7	1, 4, 6	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. dom B )
8	2	eldm2 4864	. . 3 |- ( y e. dom U_ x e. A B <-> E. z <. y , z >. e. U_ x e. A B )
9		eliun 3920	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A dom B <-> E. x e. A y e. dom B )
10	7, 8, 9	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. dom U_ x e. A B <-> y e. U_ x e. A dom B )
11	10	eqriv 2193	1 |- dom U_ x e. A B = U_ x e. A dom B

Syntax hints:   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3625   U_ciun 3916   dom cdm 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-iun 3918  df-br 4034  df-dm 4673

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  12637