ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmiun Unicode version

Theorem dmiun 4818
Description: The domain of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmiun  |-  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  dom  B

Proof of Theorem dmiun
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2753 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z <. y ,  z
>.  e.  B  <->  E. z E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
2 vex 2733 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
32eldm2 4807 . . . . 5  |-  ( y  e.  dom  B  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  B )
43rexbii 2477 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  dom  B  <->  E. x  e.  A  E. z <. y ,  z >.  e.  B )
5 eliun 3875 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
65exbii 1598 . . . 4  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. z E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
71, 4, 63bitr4ri 212 . . 3  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  B )
82eldm2 4807 . . 3  |-  ( y  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B )
9 eliun 3875 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  dom  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  B )
107, 8, 93bitr4i 211 . 2  |-  ( y  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  y  e.  U_ x  e.  A  dom  B )
1110eqriv 2167 1  |-  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  dom  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   E.wrex 2449   <.cop 3584   U_ciun 3871   dom cdm 4609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-iun 3873  df-br 3988  df-dm 4619
This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  12368
  Copyright terms: Public domain W3C validator