Theorem dmresi 5116

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	|- dom ( _I |` A ) = A

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3270	. . 3 |- A C_ _V
2		dmi 4994	. . 3 |- dom _I = _V
3	1, 2	sseqtrri 3283	. 2 |- A C_ dom _I
4		ssdmres 5083	. 2 |- ( A C_ dom _I <-> dom ( _I |` A ) = A )
5	3, 4	mpbi 145	1 |- dom ( _I |` A ) = A

Syntax hints:   = wceq 1402   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   _I cid 4431   dom cdm 4772   |` cres 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-dm 4782  df-res 4784

This theorem is referenced by:  fnresi  5499  iordsmo  6561  residfi  7247  ausgrusgrben  16326