Theorem dmresi 4998

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	|- dom ( _I |` A ) = A

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3202	. . 3 |- A C_ _V
2		dmi 4878	. . 3 |- dom _I = _V
3	1, 2	sseqtrri 3215	. 2 |- A C_ dom _I
4		ssdmres 4965	. 2 |- ( A C_ dom _I <-> dom ( _I |` A ) = A )
5	3, 4	mpbi 145	1 |- dom ( _I |` A ) = A

Syntax hints:   = wceq 1364   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   _I cid 4320   dom cdm 4660   |` cres 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-dm 4670  df-res 4672

This theorem is referenced by:  fnresi  5372  iordsmo  6352  residfi  7001