Theorem dmresi 4938

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	|- dom ( _I |` A ) = A

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3163	. . 3 |- A C_ _V
2		dmi 4818	. . 3 |- dom _I = _V
3	1, 2	sseqtrri 3176	. 2 |- A C_ dom _I
4		ssdmres 4905	. 2 |- ( A C_ dom _I <-> dom ( _I |` A ) = A )
5	3, 4	mpbi 144	1 |- dom ( _I |` A ) = A

Syntax hints:   = wceq 1343   _Vcvv 2725   C_ wss 3115   _I cid 4265   dom cdm 4603   |` cres 4605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-dm 4613  df-res 4615

This theorem is referenced by:  fnresi  5304  iordsmo  6261