Theorem ssdmres 5027

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3210	. 2 |- ( A C_ dom B <-> ( A i^i dom B ) = A )
2		dmres 5026	. . 3 |- dom ( B |` A ) = ( A i^i dom B )
3	2	eqeq1i 2237	. 2 |- ( dom ( B |` A ) = A <-> ( A i^i dom B ) = A )
4	1, 3	bitr4i 187	1 |- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   i^i cin 3196   C_ wss 3197   dom cdm 4719   |` cres 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-dm 4729  df-res 4731

This theorem is referenced by:  dmresi  5060  fnssresb  5435  fores  5558  foimacnv  5590  rdgivallem  6527  sbthlemi4  7127