Theorem ssdmres 5000

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3187	. 2 |- ( A C_ dom B <-> ( A i^i dom B ) = A )
2		dmres 4999	. . 3 |- dom ( B |` A ) = ( A i^i dom B )
3	2	eqeq1i 2215	. 2 |- ( dom ( B |` A ) = A <-> ( A i^i dom B ) = A )
4	1, 3	bitr4i 187	1 |- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   i^i cin 3173   C_ wss 3174   dom cdm 4693   |` cres 4695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-dm 4703  df-res 4705

This theorem is referenced by:  dmresi  5033  fnssresb  5407  fores  5530  foimacnv  5562  rdgivallem  6490  sbthlemi4  7088