Theorem ssdmres 4849

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3089	. 2 |- ( A C_ dom B <-> ( A i^i dom B ) = A )
2		dmres 4848	. . 3 |- dom ( B |` A ) = ( A i^i dom B )
3	2	eqeq1i 2148	. 2 |- ( dom ( B |` A ) = A <-> ( A i^i dom B ) = A )
4	1, 3	bitr4i 186	1 |- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1332   i^i cin 3075   C_ wss 3076   dom cdm 4547   |` cres 4549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-dm 4557  df-res 4559

This theorem is referenced by:  dmresi  4882  fnssresb  5243  fores  5362  foimacnv  5393  rdgivallem  6286  sbthlemi4  6856