Theorem ssdmres 4881

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3111	. 2 |- ( A C_ dom B <-> ( A i^i dom B ) = A )
2		dmres 4880	. . 3 |- dom ( B |` A ) = ( A i^i dom B )
3	2	eqeq1i 2162	. 2 |- ( dom ( B |` A ) = A <-> ( A i^i dom B ) = A )
4	1, 3	bitr4i 186	1 |- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1332   i^i cin 3097   C_ wss 3098   dom cdm 4579   |` cres 4581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-dm 4589  df-res 4591

This theorem is referenced by:  dmresi  4914  fnssresb  5275  fores  5394  foimacnv  5425  rdgivallem  6318  sbthlemi4  6893