Theorem dmi 4754

Description: The domain of the identity relation is the universe. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmi	|- dom _I = _V

Proof of Theorem dmi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3382	. 2 |- ( dom _I = _V <-> A. x x e. dom _I )
2		a9ev 1675	. . . 4 |- E. y y = x
3		vex 2689	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	ideq 4691	. . . . . 6 |- ( x _I y <-> x = y )
5		equcom 1682	. . . . . 6 |- ( x = y <-> y = x )
6	4, 5	bitri 183	. . . . 5 |- ( x _I y <-> y = x )
7	6	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y x _I y <-> E. y y = x )
8	2, 7	mpbir 145	. . 3 |- E. y x _I y
9		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
10	9	eldm 4736	. . 3 |- ( x e. dom _I <-> E. y x _I y )
11	8, 10	mpbir 145	. 2 |- x e. dom _I
12	1, 11	mpgbir 1429	1 |- dom _I = _V

Syntax hints:   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   _I cid 4210   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  dmv  4755  iprc  4807  dmresi  4874  climshft2  11075