Theorem dmi 4881

Description: The domain of the identity relation is the universe. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmi	|- dom _I = _V

Proof of Theorem dmi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3470	. 2 |- ( dom _I = _V <-> A. x x e. dom _I )
2		a9ev 1711	. . . 4 |- E. y y = x
3		vex 2766	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	ideq 4818	. . . . . 6 |- ( x _I y <-> x = y )
5		equcom 1720	. . . . . 6 |- ( x = y <-> y = x )
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 |- ( x _I y <-> y = x )
7	6	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. y x _I y <-> E. y y = x )
8	2, 7	mpbir 146	. . 3 |- E. y x _I y
9		vex 2766	. . . 4 |- x e. _V
10	9	eldm 4863	. . 3 |- ( x e. dom _I <-> E. y x _I y )
11	8, 10	mpbir 146	. 2 |- x e. dom _I
12	1, 11	mpgbir 1467	1 |- dom _I = _V

Syntax hints:   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   _I cid 4323   dom cdm 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-dm 4673

This theorem is referenced by:  dmv  4882  iprc  4934  dmresi  5001  climshft2  11471