Theorem dmi 4860

Description: The domain of the identity relation is the universe. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmi	|- dom _I = _V

Proof of Theorem dmi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3457	. 2 |- ( dom _I = _V <-> A. x x e. dom _I )
2		a9ev 1708	. . . 4 |- E. y y = x
3		vex 2755	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	ideq 4797	. . . . . 6 |- ( x _I y <-> x = y )
5		equcom 1717	. . . . . 6 |- ( x = y <-> y = x )
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 |- ( x _I y <-> y = x )
7	6	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. y x _I y <-> E. y y = x )
8	2, 7	mpbir 146	. . 3 |- E. y x _I y
9		vex 2755	. . . 4 |- x e. _V
10	9	eldm 4842	. . 3 |- ( x e. dom _I <-> E. y x _I y )
11	8, 10	mpbir 146	. 2 |- x e. dom _I
12	1, 11	mpgbir 1464	1 |- dom _I = _V

Syntax hints:   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   class class class wbr 4018   _I cid 4306   dom cdm 4644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-dm 4654

This theorem is referenced by:  dmv  4861  iprc  4913  dmresi  4980  climshft2  11346