Theorem dmsn0 5235

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	⊢ dom {∅} = ∅

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4782	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		dmsnm 5233	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
3	1, 2	mtbi 677	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅}
4		alnex 1548	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
5	3, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅}
6		eq0 3531	. 2 ⊢ (dom {∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅})
7	5, 6	mpbir 146	1 ⊢ dom {∅} = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1396   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ∅c0 3512  {csn 3694   × cxp 4752  dom cdm 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-dm 4764

This theorem is referenced by:  cnvsn0  5236  1st0  6351  2nd0  6352