ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsn0 GIF version

Theorem dmsn0 4976
Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmsn0 dom {∅} = ∅

Proof of Theorem dmsn0
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4537 . . . 4 ¬ ∅ ∈ (V × V)
2 dmsnm 4974 . . . 4 (∅ ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
31, 2mtbi 644 . . 3 ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅}
4 alnex 1460 . . 3 (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
53, 4mpbir 145 . 2 𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅}
6 eq0 3351 . 2 (dom {∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅})
75, 6mpbir 145 1 dom {∅} = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wal 1314   = wceq 1316  wex 1453  wcel 1465  Vcvv 2660  c0 3333  {csn 3497   × cxp 4507  dom cdm 4509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-dm 4519
This theorem is referenced by:  cnvsn0  4977  1st0  6010  2nd0  6011
  Copyright terms: Public domain W3C validator