Theorem dmsn0 5050

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	⊢ dom {∅} = ∅

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4611	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		dmsnm 5048	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
3	1, 2	mtbi 660	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅}
4		alnex 1479	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
5	3, 4	mpbir 145	. 2 ⊢ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅}
6		eq0 3412	. 2 ⊢ (dom {∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅})
7	5, 6	mpbir 145	1 ⊢ dom {∅} = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1333   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712  ∅c0 3394  {csn 3560   × cxp 4581  dom cdm 4583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4589  df-dm 4593

This theorem is referenced by:  cnvsn0  5051  1st0  6086  2nd0  6087