ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsn0 GIF version

Theorem dmsn0 4974
Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmsn0 dom {∅} = ∅

Proof of Theorem dmsn0
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4535 . . . 4 ¬ ∅ ∈ (V × V)
2 dmsnm 4972 . . . 4 (∅ ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
31, 2mtbi 642 . . 3 ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅}
4 alnex 1458 . . 3 (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
53, 4mpbir 145 . 2 𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅}
6 eq0 3349 . 2 (dom {∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅})
75, 6mpbir 145 1 dom {∅} = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wal 1312   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  Vcvv 2658  c0 3331  {csn 3495   × cxp 4505  dom cdm 4507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-dm 4517
This theorem is referenced by:  cnvsn0  4975  1st0  6008  2nd0  6009
  Copyright terms: Public domain W3C validator