Theorem dmsn0 5098

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	⊢ dom {∅} = ∅

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4656	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		dmsnm 5096	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
3	1, 2	mtbi 670	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅}
4		alnex 1499	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
5	3, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅}
6		eq0 3443	. 2 ⊢ (dom {∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅})
7	5, 6	mpbir 146	1 ⊢ dom {∅} = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1351   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ∅c0 3424  {csn 3594   × cxp 4626  dom cdm 4628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-dm 4638

This theorem is referenced by:  cnvsn0  5099  1st0  6147  2nd0  6148