Theorem 1st0 6135

Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1st0	|- ( 1st ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem 1st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4125	. . 3 |- (/) e. _V
2		1stvalg 6133	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) }
4		dmsn0 5088	. . 3 |- dom { (/) } = (/)
5	4	unieqi 3815	. 2 |- U. dom { (/) } = U. (/)
6		uni0 3832	. 2 |- U. (/) = (/)
7	3, 5, 6	3eqtri 2200	1 |- ( 1st ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   (/)c0 3420   {csn 3589   U.cuni 3805   dom cdm 4620   ` cfv 5208   1stc1st 6129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-1st 6131

This theorem is referenced by:  0npr  7457