Theorem 1st0 6170

Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1st0	|- ( 1st ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem 1st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4145	. . 3 |- (/) e. _V
2		1stvalg 6168	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) }
4		dmsn0 5114	. . 3 |- dom { (/) } = (/)
5	4	unieqi 3834	. 2 |- U. dom { (/) } = U. (/)
6		uni0 3851	. 2 |- U. (/) = (/)
7	3, 5, 6	3eqtri 2214	1 |- ( 1st ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   (/)c0 3437   {csn 3607   U.cuni 3824   dom cdm 4644   ` cfv 5235   1stc1st 6164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-1st 6166

This theorem is referenced by:  0npr  7513