Theorem 1st0 6290

Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1st0	|- ( 1st ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem 1st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4211	. . 3 |- (/) e. _V
2		1stvalg 6288	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) }
4		dmsn0 5196	. . 3 |- dom { (/) } = (/)
5	4	unieqi 3898	. 2 |- U. dom { (/) } = U. (/)
6		uni0 3915	. 2 |- U. (/) = (/)
7	3, 5, 6	3eqtri 2254	1 |- ( 1st ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   {csn 3666   U.cuni 3888   dom cdm 4719   ` cfv 5318   1stc1st 6284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-1st 6286

This theorem is referenced by:  0npr  7670