ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1st0 Unicode version

Theorem 1st0 6170
Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
1st0  |-  ( 1st `  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem 1st0
StepHypRef Expression
1 0ex 4145 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 1stvalg 6168 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( 1st `  (/) )  =  U. dom  { (/) } )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( 1st `  (/) )  =  U. dom  { (/) }
4 dmsn0 5114 . . 3  |-  dom  { (/)
}  =  (/)
54unieqi 3834 . 2  |-  U. dom  {
(/) }  =  U. (/)
6 uni0 3851 . 2  |-  U. (/)  =  (/)
73, 5, 63eqtri 2214 1  |-  ( 1st `  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   (/)c0 3437   {csn 3607   U.cuni 3824   dom cdm 4644   ` cfv 5235   1stc1st 6164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-1st 6166
This theorem is referenced by:  0npr  7513
  Copyright terms: Public domain W3C validator