ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1st0 Unicode version

Theorem 1st0 6042
Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
1st0  |-  ( 1st `  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem 1st0
StepHypRef Expression
1 0ex 4055 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 1stvalg 6040 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( 1st `  (/) )  =  U. dom  { (/) } )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( 1st `  (/) )  =  U. dom  { (/) }
4 dmsn0 5006 . . 3  |-  dom  { (/)
}  =  (/)
54unieqi 3746 . 2  |-  U. dom  {
(/) }  =  U. (/)
6 uni0 3763 . 2  |-  U. (/)  =  (/)
73, 5, 63eqtri 2164 1  |-  ( 1st `  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   {csn 3527   U.cuni 3736   dom cdm 4539   ` cfv 5123   1stc1st 6036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-1st 6038
This theorem is referenced by:  0npr  7298
  Copyright terms: Public domain W3C validator