Theorem 1st0 6371

Description: The value of the first-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1st0	|- ( 1st ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem 1st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4258	. . 3 |- (/) e. _V
2		1stvalg 6369	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` (/) ) = U. dom { (/) }
4		dmsn0 5253	. . 3 |- dom { (/) } = (/)
5	4	unieqi 3943	. 2 |- U. dom { (/) } = U. (/)
6		uni0 3960	. 2 |- U. (/) = (/)
7	3, 5, 6	3eqtri 2263	1 |- ( 1st ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3708   U.cuni 3933   dom cdm 4772   ` cfv 5375   1stc1st 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-1st 6367

This theorem is referenced by:  0npr  7843