Theorem ecqs 6421

Description: Equivalence class in terms of quotient set. (Contributed by NM, 29-Jan-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecqs.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecqs	|- [ A ] R = U. ( { A } /. R )

Proof of Theorem ecqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 6361	. 2 |- [ A ] R = ( R " { A } )
2		ecqs.1	. . 3 |- R e. _V
3		uniqs 6417	. . 3 |- ( R e. _V -> U. ( { A } /. R ) = ( R " { A } ) )
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- U. ( { A } /. R ) = ( R " { A } )
5	1, 4	eqtr4i 2123	1 |- [ A ] R = U. ( { A } /. R )

Syntax hints:   = wceq 1299   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   {csn 3474   U.cuni 3683   "cima 4480   [cec 6357   /.cqs 6358

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-cnv 4485  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-ec 6361  df-qs 6365

This theorem is referenced by: (None)