Theorem ecqs 6651

Description: Equivalence class in terms of quotient set. (Contributed by NM, 29-Jan-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecqs.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecqs	|- [ A ] R = U. ( { A } /. R )

Proof of Theorem ecqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 6589	. 2 |- [ A ] R = ( R " { A } )
2		ecqs.1	. . 3 |- R e. _V
3		uniqs 6647	. . 3 |- ( R e. _V -> U. ( { A } /. R ) = ( R " { A } ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- U. ( { A } /. R ) = ( R " { A } )
5	1, 4	eqtr4i 2217	1 |- [ A ] R = U. ( { A } /. R )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3618   U.cuni 3835   "cima 4662   [cec 6585   /.cqs 6586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-ec 6589  df-qs 6593

This theorem is referenced by: (None)