Theorem ecqs 6684

Description: Equivalence class in terms of quotient set. (Contributed by NM, 29-Jan-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecqs.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecqs	|- [ A ] R = U. ( { A } /. R )

Proof of Theorem ecqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 6622	. 2 |- [ A ] R = ( R " { A } )
2		ecqs.1	. . 3 |- R e. _V
3		uniqs 6680	. . 3 |- ( R e. _V -> U. ( { A } /. R ) = ( R " { A } ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- U. ( { A } /. R ) = ( R " { A } )
5	1, 4	eqtr4i 2229	1 |- [ A ] R = U. ( { A } /. R )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   U.cuni 3850   "cima 4678   [cec 6618   /.cqs 6619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-ec 6622  df-qs 6626

This theorem is referenced by: (None)