Theorem ecqs 6761

Description: Equivalence class in terms of quotient set. (Contributed by NM, 29-Jan-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecqs.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecqs	⊢ [𝐴]𝑅 = ∪ ({𝐴} / 𝑅)

Proof of Theorem ecqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 6699	. 2 ⊢ [𝐴]𝑅 = (𝑅 “ {𝐴})
2		ecqs.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
3		uniqs 6757	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ ({𝐴} / 𝑅) = (𝑅 “ {𝐴}))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ ({𝐴} / 𝑅) = (𝑅 “ {𝐴})
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 ⊢ [𝐴]𝑅 = ∪ ({𝐴} / 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  {csn 3667  ∪ cuni 3891   “ cima 4726  [cec 6695   / cqs 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-ec 6699  df-qs 6703

This theorem is referenced by: (None)