Theorem ecqs 6575

Description: Equivalence class in terms of quotient set. (Contributed by NM, 29-Jan-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecqs.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecqs	⊢ [𝐴]𝑅 = ∪ ({𝐴} / 𝑅)

Proof of Theorem ecqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 6515	. 2 ⊢ [𝐴]𝑅 = (𝑅 “ {𝐴})
2		ecqs.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
3		uniqs 6571	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ ({𝐴} / 𝑅) = (𝑅 “ {𝐴}))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ ({𝐴} / 𝑅) = (𝑅 “ {𝐴})
5	1, 4	eqtr4i 2194	1 ⊢ [𝐴]𝑅 = ∪ ({𝐴} / 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583  ∪ cuni 3796   “ cima 4614  [cec 6511   / cqs 6512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-ec 6515  df-qs 6519

This theorem is referenced by: (None)