ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ecqs GIF version

Theorem ecqs 6498
Description: Equivalence class in terms of quotient set. (Contributed by NM, 29-Jan-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
ecqs.1 𝑅 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ecqs [𝐴]𝑅 = ({𝐴} / 𝑅)

Proof of Theorem ecqs
StepHypRef Expression
1 df-ec 6438 . 2 [𝐴]𝑅 = (𝑅 “ {𝐴})
2 ecqs.1 . . 3 𝑅 ∈ V
3 uniqs 6494 . . 3 (𝑅 ∈ V → ({𝐴} / 𝑅) = (𝑅 “ {𝐴}))
42, 3ax-mp 5 . 2 ({𝐴} / 𝑅) = (𝑅 “ {𝐴})
51, 4eqtr4i 2164 1 [𝐴]𝑅 = ({𝐴} / 𝑅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1332  wcel 1481  Vcvv 2689  {csn 3531   cuni 3743  cima 4549  [cec 6434   / cqs 6435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-ec 6438  df-qs 6442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator