Theorem eldm2g 4977

Description: Domain membership. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldm2g	|- ( A e. V -> ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem eldm2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 4976	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. dom B <-> E. y A B y ) )
2		df-br 4131	. . 3 |- ( A B y <-> <. A , y >. e. B )
3	2	exbii 1658	. 2 |- ( E. y A B y <-> E. y <. A , y >. e. B )
4	1, 3	bitrdi 196	1 |- ( A e. V -> ( A e. dom B <-> E. y <. A , y >. e. B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4130   dom cdm 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-dm 4784

This theorem is used by:  eldm2  4979  opeldmg  4986  dmfco  5773  releldm2  6419  elmpom  6474  tfrlem9  6590  climcau  12113  lmff  15350