Theorem dmfco 5564

Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
dmfco	|- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Proof of Theorem dmfco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvex 5513	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( G ` A ) e. _V )
2		opeq1 3765	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) -> <. x , y >. = <. ( G ` A ) , y >. )
3	2	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` A ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
4	3	ceqsexgv 2859	. . . . 5 |- ( ( G ` A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
6		eqcom 2172	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) <-> ( G ` A ) = x )
7		funopfvb 5540	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) = x <-> <. A , x >. e. G ) )
8	6, 7	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( x = ( G ` A ) <-> <. A , x >. e. G ) )
9	8	anbi1d 462	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
10	9	exbidv 1818	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
11	5, 10	bitr3d 189	. . 3 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
12	11	exbidv 1818	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
13		eldm2g 4807	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. _V -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
15		eldm2g 4807	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) ) )
16		vex 2733	. . . . . 6 |- y e. _V
17		opelco2g 4779	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom G /\ y e. _V ) -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
18	16, 17	mpan2 423	. . . . 5 |- ( A e. dom G -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
19	18	exbidv 1818	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
20	15, 19	bitrd 187	. . 3 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
21	20	adantl 275	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
22	12, 14, 21	3bitr4rd 220	1 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   dom cdm 4611   o. ccom 4615   Fun wfun 5192   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  ctssdccl  7088