Theorem dmfco 5356

Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
dmfco	|- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Proof of Theorem dmfco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvex 5306	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( G ` A ) e. _V )
2		opeq1 3617	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) -> <. x , y >. = <. ( G ` A ) , y >. )
3	2	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` A ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
4	3	ceqsexgv 2744	. . . . 5 |- ( ( G ` A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
6		eqcom 2090	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) <-> ( G ` A ) = x )
7		funopfvb 5332	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) = x <-> <. A , x >. e. G ) )
8	6, 7	syl5bb 190	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( x = ( G ` A ) <-> <. A , x >. e. G ) )
9	8	anbi1d 453	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
10	9	exbidv 1753	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
11	5, 10	bitr3d 188	. . 3 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
12	11	exbidv 1753	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
13		eldm2g 4620	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. _V -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
15		eldm2g 4620	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) ) )
16		vex 2622	. . . . . 6 |- y e. _V
17		opelco2g 4592	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom G /\ y e. _V ) -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
18	16, 17	mpan2 416	. . . . 5 |- ( A e. dom G -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
19	18	exbidv 1753	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
20	15, 19	bitrd 186	. . 3 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
21	20	adantl 271	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
22	12, 14, 21	3bitr4rd 219	1 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3444   dom cdm 4428   o. ccom 4432   Fun wfun 4996   ` cfv 5002

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-fv 5010

This theorem is referenced by: (None)