ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmfco Unicode version

Theorem dmfco 5356
Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
dmfco  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  A )  e.  dom  F ) )

Proof of Theorem dmfco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfvex 5306 . . . . 5  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( G `  A
)  e.  _V )
2 opeq1 3617 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G `  A )  ->  <. x ,  y >.  =  <. ( G `  A ) ,  y >. )
32eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  A )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F ) )
43ceqsexgv 2744 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  _V  ->  ( E. x ( x  =  ( G `  A
)  /\  <. x ,  y >.  e.  F
)  <->  <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F ) )
51, 4syl 14 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( E. x ( x  =  ( G `
 A )  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  <->  <. ( G `
 A ) ,  y >.  e.  F
) )
6 eqcom 2090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G `  A )  <->  ( G `  A )  =  x )
7 funopfvb 5332 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  A )  =  x  <->  <. A ,  x >.  e.  G ) )
86, 7syl5bb 190 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( x  =  ( G `  A )  <->  <. A ,  x >.  e.  G ) )
98anbi1d 453 . . . . 5  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( ( x  =  ( G `  A
)  /\  <. x ,  y >.  e.  F
)  <->  ( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <.
x ,  y >.  e.  F ) ) )
109exbidv 1753 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( E. x ( x  =  ( G `
 A )  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  <->  E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
115, 10bitr3d 188 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F  <->  E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
1211exbidv 1753 . 2  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( E. y <.
( G `  A
) ,  y >.  e.  F  <->  E. y E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
13 eldm2g 4620 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  _V  ->  (
( G `  A
)  e.  dom  F  <->  E. y <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F ) )
141, 13syl 14 . 2  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  A )  e.  dom  F  <->  E. y <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F ) )
15 eldm2g 4620 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  G  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  E. y <. A , 
y >.  e.  ( F  o.  G ) ) )
16 vex 2622 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
17 opelco2g 4592 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  G  /\  y  e.  _V )  ->  ( <. A , 
y >.  e.  ( F  o.  G )  <->  E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
1816, 17mpan2 416 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  G  -> 
( <. A ,  y
>.  e.  ( F  o.  G )  <->  E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
1918exbidv 1753 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  G  -> 
( E. y <. A ,  y >.  e.  ( F  o.  G
)  <->  E. y E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
2015, 19bitrd 186 . . 3  |-  ( A  e.  dom  G  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  E. y E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
2120adantl 271 . 2  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  E. y E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
2212, 14, 213bitr4rd 219 1  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  A )  e.  dom  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3444   dom cdm 4428    o. ccom 4432   Fun wfun 4996   ` cfv 5002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-fv 5010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator