ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmfco Unicode version

Theorem dmfco 5604
Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
dmfco  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  A )  e.  dom  F ) )

Proof of Theorem dmfco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfvex 5551 . . . . 5  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( G `  A
)  e.  _V )
2 opeq1 3793 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G `  A )  ->  <. x ,  y >.  =  <. ( G `  A ) ,  y >. )
32eleq1d 2258 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  A )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F ) )
43ceqsexgv 2881 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  _V  ->  ( E. x ( x  =  ( G `  A
)  /\  <. x ,  y >.  e.  F
)  <->  <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F ) )
51, 4syl 14 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( E. x ( x  =  ( G `
 A )  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  <->  <. ( G `
 A ) ,  y >.  e.  F
) )
6 eqcom 2191 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G `  A )  <->  ( G `  A )  =  x )
7 funopfvb 5579 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  A )  =  x  <->  <. A ,  x >.  e.  G ) )
86, 7bitrid 192 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( x  =  ( G `  A )  <->  <. A ,  x >.  e.  G ) )
98anbi1d 465 . . . . 5  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( ( x  =  ( G `  A
)  /\  <. x ,  y >.  e.  F
)  <->  ( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <.
x ,  y >.  e.  F ) ) )
109exbidv 1836 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( E. x ( x  =  ( G `
 A )  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  <->  E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
115, 10bitr3d 190 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F  <->  E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
1211exbidv 1836 . 2  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( E. y <.
( G `  A
) ,  y >.  e.  F  <->  E. y E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
13 eldm2g 4841 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  _V  ->  (
( G `  A
)  e.  dom  F  <->  E. y <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F ) )
141, 13syl 14 . 2  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  A )  e.  dom  F  <->  E. y <. ( G `  A ) ,  y
>.  e.  F ) )
15 eldm2g 4841 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  G  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  E. y <. A , 
y >.  e.  ( F  o.  G ) ) )
16 vex 2755 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
17 opelco2g 4813 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  G  /\  y  e.  _V )  ->  ( <. A , 
y >.  e.  ( F  o.  G )  <->  E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
1816, 17mpan2 425 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  G  -> 
( <. A ,  y
>.  e.  ( F  o.  G )  <->  E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
1918exbidv 1836 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  G  -> 
( E. y <. A ,  y >.  e.  ( F  o.  G
)  <->  E. y E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
2015, 19bitrd 188 . . 3  |-  ( A  e.  dom  G  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  E. y E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
2120adantl 277 . 2  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  E. y E. x
( <. A ,  x >.  e.  G  /\  <. x ,  y >.  e.  F
) ) )
2212, 14, 213bitr4rd 221 1  |-  ( ( Fun  G  /\  A  e.  dom  G )  -> 
( A  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  A )  e.  dom  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   dom cdm 4644    o. ccom 4648   Fun wfun 5229   ` cfv 5235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243
This theorem is referenced by:  ctssdccl  7139
  Copyright terms: Public domain W3C validator