Theorem opeldmg 4986

Description: Membership of first of an ordered pair in a domain. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opeldmg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. C -> A e. dom C ) )

Proof of Theorem opeldmg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 3905	. . . . 5 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
2	1	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. C <-> <. A , B >. e. C ) )
3	2	spcegv 2913	. . 3 |- ( B e. W -> ( <. A , B >. e. C -> E. y <. A , y >. e. C ) )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. C -> E. y <. A , y >. e. C ) )
5		eldm2g 4977	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. dom C <-> E. y <. A , y >. e. C ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. dom C <-> E. y <. A , y >. e. C ) )
7	4, 6	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. C -> A e. dom C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3712   dom cdm 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-dm 4784

This theorem is used by:  tfr0dm  6593  tfrlemi14d  6604  tfr1onlemres  6620  tfrcllemres  6633  fnfi  7250  frecuzrdgtcl  10849  frecuzrdgdomlem  10854  hashennn  11219  imasaddfnlemg  13635