Theorem climcau 11339

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 11342). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
climcau	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Proof of Theorem climcau

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 4819	. . . 4 |- ( F e. dom ~~> -> ( F e. dom ~~> <-> E. y <. F , y >. e. ~~> ) )
2	1	ibi 176	. . 3 |- ( F e. dom ~~> -> E. y <. F , y >. e. ~~> )
3		df-br 4001	. . . . 5 |- ( F ~~> y <-> <. F , y >. e. ~~> )
4		climcau.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
6		rphalfcl 9668	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
8		eqidd 2178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
9		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> F ~~> y )
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 11279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) )
11		eluzelz 9526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
12		uzid 9531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
14	13, 4	eleq2s 2272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
16		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
17	16	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
18	16	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) - y ) = ( ( F ` j ) - y ) )
19	18	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) )
20	19	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) )
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
22	21	rspcv 2837	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
24		rpre 9647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
25	24	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> F ~~> y )
27		climcl 11274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ~~> y -> y e. CC )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> y e. CC )
29		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
30		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
31		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> y e. CC )
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> x e. RR )
33		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) )
34	31, 30	abssubd 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( y - ( F ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) )
35		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) )
36	34, 35	eqbrtrd 4022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( y - ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) )
37	29, 30, 31, 32, 33, 36	abs3lemd 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
38	37	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
39	38	ralimdv 2545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ y e. CC ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. CC ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
42	25, 28, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
43	23, 42	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
44	43	reximdva 2579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
45	10, 44	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
46	45	ralrimiva 2550	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( F ~~> y -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
48	3, 47	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( <. F , y >. e. ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
49	48	exlimdv 1819	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. y <. F , y >. e. ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
50	2, 49	syl5 32	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
51	50	imp 124	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   <.cop 3594   class class class wbr 4000   dom cdm 4623   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   < clt 7982   - cmin 8118   / cdiv 8618   2c2 8959   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   RR+crp 9640   abscabs 10990   ~~> cli 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271

This theorem is referenced by:  climcaucn  11343