Theorem climcau 12113

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 12116). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
climcau	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Proof of Theorem climcau

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 4977	. . . 4 |- ( F e. dom ~~> -> ( F e. dom ~~> <-> E. y <. F , y >. e. ~~> ) )
2	1	ibi 176	. . 3 |- ( F e. dom ~~> -> E. y <. F , y >. e. ~~> )
3		df-br 4131	. . . . 5 |- ( F ~~> y <-> <. F , y >. e. ~~> )
4		climcau.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
6		rphalfcl 10082	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
8		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
9		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> F ~~> y )
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 12053	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) )
11		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
12		uzid 9936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
14	13, 4	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
16		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
17	16	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
18	16	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) - y ) = ( ( F ` j ) - y ) )
19	18	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) )
20	19	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) )
21	17, 20	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
22	21	rspcv 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
24		rpre 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
25	24	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
26		simpllr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> F ~~> y )
27		climcl 12048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ~~> y -> y e. CC )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> y e. CC )
29		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
30		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
31		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> y e. CC )
32		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> x e. RR )
33		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) )
34	31, 30	abssubd 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( y - ( F ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) )
35		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) )
36	34, 35	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( y - ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) )
37	29, 30, 31, 32, 33, 36	abs3lemd 11967	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
38	37	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
39	38	ralimdv 2618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ y e. CC ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. CC ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
42	25, 28, 41	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
43	23, 42	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
44	43	reximdva 2652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
45	10, 44	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
46	45	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( F ~~> y -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
48	3, 47	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( <. F , y >. e. ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
49	48	exlimdv 1872	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. y <. F , y >. e. ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
50	2, 49	syl5 32	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
51	50	imp 124	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   <.cop 3712   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   < clt 8360   - cmin 8497   / cdiv 9002   2c2 9355   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   RR+crp 10054   abscabs 11763   ~~> cli 12044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045

This theorem is used by:  climcaucn  12117