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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > climcau | Unicode version |
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 11358). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.) |
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climcau.1 |
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climcau |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eldm2g 4824 |
. . . 4
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2 | 1 | ibi 176 |
. . 3
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3 | df-br 4005 |
. . . . 5
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4 | climcau.1 |
. . . . . . . . 9
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5 | simpll 527 |
. . . . . . . . 9
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6 | rphalfcl 9681 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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8 | eqidd 2178 |
. . . . . . . . 9
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9 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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10 | 4, 5, 7, 8, 9 | climi 11295 |
. . . . . . . 8
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11 | eluzelz 9537 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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12 | uzid 9542 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13, 4 | eleq2s 2272 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | fveq2 5516 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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17 | 16 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . . . . 13
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18 | 16 | oveq1d 5890 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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19 | 18 | fveq2d 5520 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 19 | breq1d 4014 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 17, 20 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | rspcv 2838 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 15, 22 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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24 | rpre 9660 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 24 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | climcl 11290 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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30 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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31 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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32 | simplll 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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33 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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34 | 31, 30 | abssubd 11202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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35 | simplrr 536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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36 | 34, 35 | eqbrtrd 4026 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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37 | 29, 30, 31, 32, 33, 36 | abs3lemd 11210 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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38 | 37 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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39 | 38 | ralimdv 2545 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 39 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | com23 78 |
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42 | 25, 28, 41 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 23, 42 | mpdd 41 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | reximdva 2579 |
. . . . . . . 8
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45 | 10, 44 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | ralrimiva 2550 |
. . . . . 6
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47 | 46 | ex 115 |
. . . . 5
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48 | 3, 47 | biimtrrid 153 |
. . . 4
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49 | 48 | exlimdv 1819 |
. . 3
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50 | 2, 49 | syl5 32 |
. 2
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51 | 50 | imp 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-frec 6392 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-rp 9654 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 |
This theorem is referenced by: climcaucn 11359 |
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