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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > climcau | Unicode version |
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 11353). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.) |
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climcau.1 |
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climcau |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eldm2g 4823 |
. . . 4
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2 | 1 | ibi 176 |
. . 3
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3 | df-br 4004 |
. . . . 5
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4 | climcau.1 |
. . . . . . . . 9
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5 | simpll 527 |
. . . . . . . . 9
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6 | rphalfcl 9679 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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8 | eqidd 2178 |
. . . . . . . . 9
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9 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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10 | 4, 5, 7, 8, 9 | climi 11290 |
. . . . . . . 8
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11 | eluzelz 9535 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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12 | uzid 9540 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13, 4 | eleq2s 2272 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | fveq2 5515 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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17 | 16 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . . . . 13
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18 | 16 | oveq1d 5889 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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19 | 18 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 19 | breq1d 4013 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 17, 20 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | rspcv 2837 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 15, 22 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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24 | rpre 9658 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 24 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | climcl 11285 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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30 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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31 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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32 | simplll 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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33 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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34 | 31, 30 | abssubd 11197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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35 | simplrr 536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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36 | 34, 35 | eqbrtrd 4025 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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37 | 29, 30, 31, 32, 33, 36 | abs3lemd 11205 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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38 | 37 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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39 | 38 | ralimdv 2545 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 39 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | com23 78 |
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42 | 25, 28, 41 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 23, 42 | mpdd 41 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | reximdva 2579 |
. . . . . . . 8
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45 | 10, 44 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | ralrimiva 2550 |
. . . . . 6
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47 | 46 | ex 115 |
. . . . 5
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48 | 3, 47 | biimtrrid 153 |
. . . 4
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49 | 48 | exlimdv 1819 |
. . 3
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50 | 2, 49 | syl5 32 |
. 2
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51 | 50 | imp 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995 df-le 7996 df-sub 8128 df-neg 8129 df-reap 8530 df-ap 8537 df-div 8628 df-inn 8918 df-2 8976 df-3 8977 df-4 8978 df-n0 9175 df-z 9252 df-uz 9527 df-rp 9652 df-seqfrec 10443 df-exp 10517 df-cj 10846 df-re 10847 df-im 10848 df-rsqrt 11002 df-abs 11003 df-clim 11282 |
This theorem is referenced by: climcaucn 11354 |
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