Theorem climcau 11873

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. The converse would require excluded middle or a different definition of Cauchy sequence (for example, fixing a rate of convergence as in climcvg1n 11876). Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
climcau	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Proof of Theorem climcau

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 4919	. . . 4 |- ( F e. dom ~~> -> ( F e. dom ~~> <-> E. y <. F , y >. e. ~~> ) )
2	1	ibi 176	. . 3 |- ( F e. dom ~~> -> E. y <. F , y >. e. ~~> )
3		df-br 4084	. . . . 5 |- ( F ~~> y <-> <. F , y >. e. ~~> )
4		climcau.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
6		rphalfcl 9889	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
8		eqidd 2230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
9		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> F ~~> y )
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 11813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) )
11		eluzelz 9743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
12		uzid 9748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
14	13, 4	eleq2s 2324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
16		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
17	16	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
18	16	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) - y ) = ( ( F ` j ) - y ) )
19	18	fveq2d 5633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) )
20	19	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) )
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
22	21	rspcv 2903	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
24		rpre 9868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
25	24	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
26		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> F ~~> y )
27		climcl 11808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ~~> y -> y e. CC )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> y e. CC )
29		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
30		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
31		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> y e. CC )
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> x e. RR )
33		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) )
34	31, 30	abssubd 11719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( y - ( F ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) )
35		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) )
36	34, 35	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( y - ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) )
37	29, 30, 31, 32, 33, 36	abs3lemd 11727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
38	37	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
39	38	ralimdv 2598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
40	39	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ y e. CC ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. CC ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
42	25, 28, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
43	23, 42	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
44	43	reximdva 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - y ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
45	10, 44	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
46	45	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ F ~~> y ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( F ~~> y -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
48	3, 47	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( <. F , y >. e. ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
49	48	exlimdv 1865	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. y <. F , y >. e. ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
50	2, 49	syl5 32	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( F e. dom ~~> -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
51	50	imp 124	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   <.cop 3669   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   < clt 8192   - cmin 8328   / cdiv 8830   2c2 9172   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   RR+crp 9861   abscabs 11523   ~~> cli 11804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805

This theorem is referenced by:  climcaucn  11877