Theorem eldm 4980

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm	|- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldmg 4978	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y A B y ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   dom cdm 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-dm 4786

This theorem is used by:  dmi  4998  dmcoss  5054  dmcosseq  5056  dminss  5205  dmsnm  5256  dffun7  5407  dffun8  5408  fnres  5503  fndmdif  5817  reldmtpos  6528  dmtpos  6531  tfrexlem  6609  eulerpathum  16927