Theorem eldm 4744

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm	|- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldmg 4742	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y A B y ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Syntax hints:   <-> wb 104   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-dm 4557

This theorem is referenced by:  dmi  4762  dmcoss  4816  dmcosseq  4818  dminss  4961  dmsnm  5012  dffun7  5158  dffun8  5159  fnres  5247  fndmdif  5533  reldmtpos  6158  dmtpos  6161  tfrexlem  6239