Theorem eldm 4894

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm	|- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldmg 4892	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y A B y ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   dom cdm 4693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-dm 4703

This theorem is referenced by:  dmi  4912  dmcoss  4967  dmcosseq  4969  dminss  5116  dmsnm  5167  dffun7  5317  dffun8  5318  fnres  5412  fndmdif  5708  reldmtpos  6362  dmtpos  6365  tfrexlem  6443