Theorem elixpconst 6870

Description: Membership in an infinite Cartesian product of a constant B. (Contributed by NM, 12-Apr-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
elixp.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
elixpconst	|- ( F e. X_ x e. A B <-> F : A --> B )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, B

Proof of Theorem elixpconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elixp.1	. . 3 |- F e. _V
2	1	elixp 6869	. 2 |- ( F e. X_ x e. A B <-> ( F Fn A /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
3		ffnfv 5801	. 2 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
4	2, 3	bitr4i 187	1 |- ( F e. X_ x e. A B <-> F : A --> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   Fn wfn 5319   -->wf 5320   ` cfv 5324   X_cixp 6862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ixp 6863

This theorem is referenced by:  ixpconstg  6871