Theorem ixpconstg 6881

Description: Infinite Cartesian product of a constant B. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2804	. . . . 5 |- f e. _V
2	1	elixpconst 6880	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B <-> f : A --> B )
3	2	abbi2i 2345	. . 3 |- X_ x e. A B = { f | f : A --> B }
4		mapvalg 6832	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
5	3, 4	eqtr4id 2282	. 2 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )
6	5	ancoms 268	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   {cab 2216   -->wf 5324  (class class class)co 6023   ^m cmap 6822   X_cixp 6872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-map 6824  df-ixp 6873

This theorem is referenced by:  ixpconst  6882  mapsnf1o  6911  pwsbas  13398