Theorem ixpconstg 6685

Description: Infinite Cartesian product of a constant B. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2733	. . . . 5 |- f e. _V
2	1	elixpconst 6684	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B <-> f : A --> B )
3	2	abbi2i 2285	. . 3 |- X_ x e. A B = { f | f : A --> B }
4		mapvalg 6636	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
5	3, 4	eqtr4id 2222	. 2 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )
6	5	ancoms 266	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   -->wf 5194  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626   X_cixp 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-ixp 6677

This theorem is referenced by:  ixpconst  6686  mapsnf1o  6715