Theorem ixpconstg 6817

Description: Infinite Cartesian product of a constant B. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2779	. . . . 5 |- f e. _V
2	1	elixpconst 6816	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B <-> f : A --> B )
3	2	abbi2i 2322	. . 3 |- X_ x e. A B = { f | f : A --> B }
4		mapvalg 6768	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
5	3, 4	eqtr4id 2259	. 2 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )
6	5	ancoms 268	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   -->wf 5286  (class class class)co 5967   ^m cmap 6758   X_cixp 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-map 6760  df-ixp 6809

This theorem is referenced by:  ixpconst  6818  mapsnf1o  6847  pwsbas  13239