Theorem ixpconstg 6601

Description: Infinite Cartesian product of a constant B. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6552	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
2		vex 2689	. . . . 5 |- f e. _V
3	2	elixpconst 6600	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B <-> f : A --> B )
4	3	abbi2i 2254	. . 3 |- X_ x e. A B = { f | f : A --> B }
5	1, 4	syl6reqr 2191	. 2 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )
6	5	ancoms 266	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   -->wf 5119  (class class class)co 5774   ^m cmap 6542   X_cixp 6592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-ixp 6593

This theorem is referenced by:  ixpconst  6602  mapsnf1o  6631