Theorem ixpconstg 6673

Description: Infinite Cartesian product of a constant B. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. . . . 5 |- f e. _V
2	1	elixpconst 6672	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B <-> f : A --> B )
3	2	abbi2i 2281	. . 3 |- X_ x e. A B = { f | f : A --> B }
4		mapvalg 6624	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
5	3, 4	eqtr4id 2218	. 2 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )
6	5	ancoms 266	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> X_ x e. A B = ( B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   -->wf 5184  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614   X_cixp 6664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616  df-ixp 6665

This theorem is referenced by:  ixpconst  6674  mapsnf1o  6703