ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixpconstg Unicode version

Theorem ixpconstg 6761
Description: Infinite Cartesian product of a constant  B. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpconstg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    V( x)    W( x)

Proof of Theorem ixpconstg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2763 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
21elixpconst 6760 . . . 4  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  f : A --> B )
32abbi2i 2308 . . 3  |-  X_ x  e.  A  B  =  { f  |  f : A --> B }
4 mapvalg 6712 . . 3  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( B  ^m  A
)  =  { f  |  f : A --> B } )
53, 4eqtr4id 2245 . 2  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A ) )
65ancoms 268 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2164   {cab 2179   -->wf 5250  (class class class)co 5918    ^m cmap 6702   X_cixp 6752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704  df-ixp 6753
This theorem is referenced by:  ixpconst  6762  mapsnf1o  6791
  Copyright terms: Public domain W3C validator