Theorem elpw2 4159

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 11-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
elpw2.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elpw2	|- ( A e. ~P B <-> A C_ B )

Proof of Theorem elpw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2.1	. 2 |- B e. _V
2		elpw2g 4158	. 2 |- ( B e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. ~P B <-> A C_ B )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579

This theorem is referenced by:  elpwi2  4160  axpweq  4173  genpelxp  7512  ltexprlempr  7609  recexprlempr  7633  cauappcvgprlemcl  7654  cauappcvgprlemladd  7659  caucvgprlemcl  7677  caucvgprprlemcl  7705  uzf  9533  ixxf  9900  fzf  10014  cncfval  14144  reldvg  14233  dvfvalap  14235