Theorem elpw2 4186

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 11-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
elpw2.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elpw2	|- ( A e. ~P B <-> A C_ B )

Proof of Theorem elpw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2.1	. 2 |- B e. _V
2		elpw2g 4185	. 2 |- ( B e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. ~P B <-> A C_ B )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603

This theorem is referenced by:  elpwi2  4187  axpweq  4200  genpelxp  7571  ltexprlempr  7668  recexprlempr  7692  cauappcvgprlemcl  7713  cauappcvgprlemladd  7718  caucvgprlemcl  7736  caucvgprprlemcl  7764  uzf  9595  ixxf  9964  fzf  10078  cncfval  14727  reldvg  14833  dvfvalap  14835  plyval  14878