Theorem uzf 9725

Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	|- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3309	. . . 4 |- { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ
2		zex 9455	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 4241	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 |- { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
5	4	rgenw 2585	. 2 |- A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
6		df-uz 9723	. . 3 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
7	6	fmpt 5785	. 2 |- ( A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 145	1 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Syntax hints:   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   class class class wbr 4083   -->wf 5314   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  eluzel2  9727  uzn0  9738  uzin2  11498  rexanuz  11499  climmpt  11811  lmbr2  14888  lmff  14923