Theorem uzf 9228

Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	|- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3148	. . . 4 |- { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ
2		zex 8964	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 4042	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 145	. . 3 |- { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
5	4	rgenw 2461	. 2 |- A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
6		df-uz 9226	. . 3 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
7	6	fmpt 5524	. 2 |- ( A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 144	1 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Syntax hints:   e. wcel 1463   A.wral 2390   {crab 2394   C_ wss 3037   ~Pcpw 3476   class class class wbr 3895   -->wf 5077   <_ cle 7722   ZZcz 8955   ZZ>=cuz 9225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-neg 7856  df-z 8956  df-uz 9226

This theorem is referenced by:  eluzel2  9230  uzn0  9240  uzin2  10648  rexanuz  10649  climmpt  10958  lmbr2  12222  lmff  12257