Theorem uzf 9907

Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	|- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3333	. . . 4 |- { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ
2		zex 9636	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 4291	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 |- { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
5	4	rgenw 2605	. 2 |- A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
6		df-uz 9905	. . 3 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
7	6	fmpt 5852	. 2 |- ( A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 145	1 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Syntax hints:   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   -->wf 5371   <_ cle 8355   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-neg 8494  df-z 9628  df-uz 9905

This theorem is referenced by:  eluzel2  9909  uzn0  9921  uzin2  11736  rexanuz  11737  climmpt  12049  lmbr2  15298  lmff  15333