Theorem uzf 9852

Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	|- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3322	. . . 4 |- { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ
2		zex 9582	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 4268	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 |- { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
5	4	rgenw 2597	. 2 |- A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
6		df-uz 9850	. . 3 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
7	6	fmpt 5826	. 2 |- ( A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 145	1 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Syntax hints:   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   C_ wss 3210   ~Pcpw 3668   class class class wbr 4108   -->wf 5347   <_ cle 8305   ZZcz 9573   ZZ>=cuz 9849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-neg 8443  df-z 9574  df-uz 9850

This theorem is referenced by:  eluzel2  9854  uzn0  9866  uzin2  11665  rexanuz  11666  climmpt  11978  lmbr2  15066  lmff  15101