ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzf Unicode version

Theorem uzf 9228
Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3148 . . . 4  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  C_  ZZ
2 zex 8964 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
32elpw2 4042 . . . 4  |-  ( { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  C_  ZZ )
41, 3mpbir 145 . . 3  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ
54rgenw 2461 . 2  |-  A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  e.  ~P ZZ
6 df-uz 9226 . . 3  |-  ZZ>=  =  ( j  e.  ZZ  |->  { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }
)
76fmpt 5524 . 2  |-  ( A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
85, 7mpbi 144 1  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1463   A.wral 2390   {crab 2394    C_ wss 3037   ~Pcpw 3476   class class class wbr 3895   -->wf 5077    <_ cle 7722   ZZcz 8955   ZZ>=cuz 9225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-neg 7856  df-z 8956  df-uz 9226
This theorem is referenced by:  eluzel2  9230  uzn0  9240  uzin2  10648  rexanuz  10649  climmpt  10958  lmbr2  12222  lmff  12257
  Copyright terms: Public domain W3C validator