Theorem elpw2 4090

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 11-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
elpw2.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elpw2	⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem elpw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		elpw2g 4089	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   ⊆ wss 3076  𝒫 cpw 3515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517

This theorem is referenced by:  axpweq  4103  genpelxp  7343  ltexprlempr  7440  recexprlempr  7464  cauappcvgprlemcl  7485  cauappcvgprlemladd  7490  caucvgprlemcl  7508  caucvgprprlemcl  7536  uzf  9353  ixxf  9711  fzf  9825  cncfval  12767  reldvg  12856  dvfvalap  12858