Theorem fzf 10014

Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fzf	|- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzf

Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3242	. . . 4 |- { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } C_ ZZ
2		zex 9264	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 4159	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 |- { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ
5	4	rgen2w 2533	. 2 |- A. m e. ZZ A. n e. ZZ { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ
6		df-fz 10011	. . 3 |- ... = ( m e. ZZ , n e. ZZ |-> { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } )
7	6	fmpo 6204	. 2 |- ( A. m e. ZZ A. n e. ZZ { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ <-> ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 145	1 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   class class class wbr 4005   X. cxp 4626   -->wf 5214   <_ cle 7995   ZZcz 9255   ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-neg 8133  df-z 9256  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  fzen  10045  fzof  10146  fzoval  10150