ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzf Unicode version

Theorem fzf 9426
Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fzf  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ

Proof of Theorem fzf
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3106 . . . 4  |-  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) } 
C_  ZZ
2 zex 8757 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
32elpw2 3993 . . . 4  |-  ( { k  e.  ZZ  | 
( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  e.  ~P ZZ  <->  { k  e.  ZZ  | 
( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  C_  ZZ )
41, 3mpbir 144 . . 3  |-  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  e.  ~P ZZ
54rgen2w 2431 . 2  |-  A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  e.  ~P ZZ
6 df-fz 9423 . . 3  |-  ...  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) } )
76fmpt2 5971 . 2  |-  ( A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  e.  ~P ZZ  <->  ... : ( ZZ 
X.  ZZ ) --> ~P ZZ )
85, 7mpbi 143 1  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    e. wcel 1438   A.wral 2359   {crab 2363    C_ wss 2999   ~Pcpw 3429   class class class wbr 3845    X. cxp 4436   -->wf 5011    <_ cle 7521   ZZcz 8748   ...cfz 9422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-neg 7654  df-z 8749  df-fz 9423
This theorem is referenced by:  fzen  9455  fzof  9551  fzoval  9555
  Copyright terms: Public domain W3C validator