ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzf Unicode version

Theorem fzf 9734
Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fzf  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ

Proof of Theorem fzf
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3150 . . . 4  |-  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) } 
C_  ZZ
2 zex 9014 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
32elpw2 4050 . . . 4  |-  ( { k  e.  ZZ  | 
( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  e.  ~P ZZ  <->  { k  e.  ZZ  | 
( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  C_  ZZ )
41, 3mpbir 145 . . 3  |-  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  e.  ~P ZZ
54rgen2w 2463 . 2  |-  A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  e.  ~P ZZ
6 df-fz 9731 . . 3  |-  ...  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) } )
76fmpo 6065 . 2  |-  ( A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) }  e.  ~P ZZ  <->  ... : ( ZZ 
X.  ZZ ) --> ~P ZZ )
85, 7mpbi 144 1  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    e. wcel 1463   A.wral 2391   {crab 2395    C_ wss 3039   ~Pcpw 3478   class class class wbr 3897    X. cxp 4505   -->wf 5087    <_ cle 7765   ZZcz 9005   ...cfz 9730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-neg 7900  df-z 9006  df-fz 9731
This theorem is referenced by:  fzen  9763  fzof  9861  fzoval  9865
  Copyright terms: Public domain W3C validator