Theorem fzf 10309

Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fzf	|- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzf

Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3313	. . . 4 |- { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } C_ ZZ
2		zex 9549	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 4252	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 |- { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ
5	4	rgen2w 2589	. 2 |- A. m e. ZZ A. n e. ZZ { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ
6		df-fz 10306	. . 3 |- ... = ( m e. ZZ , n e. ZZ |-> { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } )
7	6	fmpo 6375	. 2 |- ( A. m e. ZZ A. n e. ZZ { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ <-> ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 145	1 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   -->wf 5329   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-neg 8412  df-z 9541  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  fzen  10340  fzof  10441  fzoval  10445