Theorem reldvg 14309

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	|- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables f s w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
2		cnex 7938	. . . . . 6 |- CC e. _V
3	2	elpw2 4159	. . . . 5 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. ~P CC )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
6		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 14194	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top )
9	4	elexd 2752	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. _V )
10		resttop 13831	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12		elpmi 6670	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
13	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
15	6	cntoptopon 14193	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 13678	. . . . . . . . . 10 |- CC = U. ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	restuni 13833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S C_ CC ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	8, 1, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19	14, 18	sseqtrd 3195	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
20		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
21	20	ntrss3 13784	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	11, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
23		uniexg 4441	. . . . . . 7 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top -> U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V )
24		elpw2g 4158	. . . . . . 7 |- ( U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
26	22, 25	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
27		vex 2742	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
28	27	snex 4187	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
29		limccl 14289	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) C_ CC
30	2, 29	ssexi 4143	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) e. _V
31	28, 30	xpex 4743	. . . . . . 7 |- ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
32	31	rgenw 2532	. . . . . 6 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
33	32	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
34		iunexg 6123	. . . . 5 |- ( ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) /\ A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
35	26, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
36		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> s = S )
37	36	oveq2d 5894	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
38	37	fveq2d 5521	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) = ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
39		dmeq 4829	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> dom f = dom F )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> dom f = dom F )
41	38, 40	fveq12d 5524	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) = ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
42	40	rabeqdv 2733	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> { w e. dom f | w # x } = { w e. dom F | w # x } )
43		fveq1 5516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
45		fveq1 5516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
47	44, 46	oveq12d 5896	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) )
48	47	oveq1d 5893	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
49	42, 48	mpteq12dv 4087	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) )
50	49	oveq1d 5893	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
51	50	xpeq2d 4652	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
52	41, 51	iuneq12d 3912	. . . . 5 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
53		oveq2 5886	. . . . 5 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
54		df-dvap 14287	. . . . 5 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
55	52, 53, 54	ovmpox 6006	. . . 4 |- ( ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
57		relxp 4737	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
58	57	rgenw 2532	. . . . 5 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
59		reliun 4749	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
60	58, 59	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
61		df-rel 4635	. . . 4 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V ) )
62	60, 61	mpbi 145	. . 3 |- U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V )
63	56, 62	eqsstrdi 3209	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
64		df-rel 4635	. 2 |- ( Rel ( S _D F ) <-> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
65	63, 64	sylibr 134	1 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   {csn 3594   U.cuni 3811   U_ciun 3888   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   dom cdm 4628   o. ccom 4632   Rel wrel 4633   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   ^pm cpm 6652   CCcc 7812   - cmin 8131   # cap 8541   / cdiv 8632   abscabs 11009   ↾_t crest 12694   MetOpencmopn 13592   Topctop 13658   intcnt 13754   lim CC climc 14284   _D cdv 14285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-map 6653  df-pm 6654  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13594  df-xmet 13595  df-met 13596  df-bl 13597  df-mopn 13598  df-top 13659  df-topon 13672  df-bases 13704  df-ntr 13757  df-limced 14286  df-dvap 14287

This theorem is referenced by:  dvfgg  14318  dvidlemap  14321  dvmulxxbr  14327  dviaddf  14330  dvimulf  14331  dvcoapbr  14332