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Theorem reldvg 12806
Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
reldvg  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Rel  ( S  _D  F
) )

Proof of Theorem reldvg
Dummy variables  f  s  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  S  C_  CC )
2 cnex 7737 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
32elpw2 4077 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P CC  <->  S  C_  CC )
41, 3sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  S  e.  ~P CC )
5 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
6 eqid 2137 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
76cntoptop 12691 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  Top
87a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( MetOpen
`  ( abs  o.  -  ) )  e. 
Top )
94elexd 2694 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  S  e.  _V )
10 resttop 12328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  e. 
Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
118, 9, 10syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  Top )
12 elpmi 6554 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
1312simprd 113 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  dom  F  C_  S )
1413adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  S )
156cntoptopon 12690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  (TopOn `  CC )
1615toponunii 12173 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  U. ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1716restuni 12330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  e. 
Top  /\  S  C_  CC )  ->  S  =  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
188, 1, 17syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  S  =  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) )
1914, 18sseqtrd 3130 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) )
20 eqid 2137 . . . . . . . 8  |-  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  =  U. ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )
2120ntrss3 12281 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top  /\  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )  ->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F )  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )
2211, 19, 21syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )
23 uniexg 4356 . . . . . . 7  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  Top  ->  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  _V )
24 elpw2g 4076 . . . . . . 7  |-  ( U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  _V  ->  ( ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  e.  ~P U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  <->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) `  dom  F )  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) )
2511, 23, 243syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  e.  ~P U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  <->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) `  dom  F )  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) )
2622, 25mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  e.  ~P U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
27 vex 2684 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2827snex 4104 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
29 limccl 12786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  C_  CC
302, 29ssexi 4061 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  e. 
_V
3128, 30xpex 4649 . . . . . . 7  |-  ( { x }  X.  (
( z  e.  {
w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  e.  _V
3231rgenw 2485 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  e.  _V
3332a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  A. x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  e.  _V )
34 iunexg 6010 . . . . 5  |-  ( ( ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  e.  ~P U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  /\  A. x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  e.  _V )
3526, 33, 34syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  e.  _V )
36 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  s  =  S )
3736oveq2d 5783 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  s )  =  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
3837fveq2d 5418 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  s ) )  =  ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) )
39 dmeq 4734 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
4039adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
4138, 40fveq12d 5421 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  s ) ) `  dom  f
)  =  ( ( int `  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) `  dom  F
) )
4240rabeqdv 2675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  { w  e.  dom  f  |  w #  x }  =  { w  e.  dom  F  |  w #  x } )
43 fveq1 5413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
4443adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( f `  z
)  =  ( F `
 z ) )
45 fveq1 5413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4645adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4744, 46oveq12d 5785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( ( f `  z )  -  (
f `  x )
)  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) ) )
4847oveq1d 5782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) )  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4942, 48mpteq12dv 4005 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( z  e.  {
w  e.  dom  f  |  w #  x }  |->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
5049oveq1d 5782 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  f  |  w #  x }  |->  ( ( ( f `  z )  -  ( f `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x )  =  ( ( z  e.  {
w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
5150xpeq2d 4558 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  ( { x }  X.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  f  |  w #  x }  |->  ( ( ( f `  z )  -  ( f `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x ) )  =  ( { x }  X.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
5241, 51iuneq12d 3832 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  f  =  F )  ->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  s ) ) `  dom  f
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  f  |  w #  x }  |->  ( ( ( f `  z
)  -  ( f `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  =  U_ x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
53 oveq2 5775 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
54 df-dvap 12784 . . . . 5  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  s ) ) `  dom  f
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  f  |  w #  x }  |->  ( ( ( f `  z
)  -  ( f `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
5552, 53, 54ovmpox 5892 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  U_ x  e.  ( ( int `  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  e.  _V )  -> 
( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
564, 5, 35, 55syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F )  = 
U_ x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
57 relxp 4643 . . . . . 6  |-  Rel  ( { x }  X.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
5857rgenw 2485 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) Rel  ( {
x }  X.  (
( z  e.  {
w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
59 reliun 4655 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ x  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  <->  A. x  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) Rel  ( {
x }  X.  (
( z  e.  {
w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
6058, 59mpbir 145 . . . 4  |-  Rel  U_ x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )
61 df-rel 4541 . . . 4  |-  ( Rel  U_ x  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  <->  U_ x  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) 
C_  ( _V  X.  _V ) )
6260, 61mpbi 144 . . 3  |-  U_ x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) ( { x }  X.  ( ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) 
C_  ( _V  X.  _V )
6356, 62eqsstrdi 3144 . 2  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F )  C_  ( _V  X.  _V )
)
64 df-rel 4541 . 2  |-  ( Rel  ( S  _D  F
)  <->  ( S  _D  F )  C_  ( _V  X.  _V ) )
6563, 64sylibr 133 1  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Rel  ( S  _D  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418   _Vcvv 2681    C_ wss 3066   ~Pcpw 3505   {csn 3522   U.cuni 3731   U_ciun 3808   class class class wbr 3924    |-> cmpt 3984    X. cxp 4532   dom cdm 4534    o. ccom 4538   Rel wrel 4539   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767    ^pm cpm 6536   CCcc 7611    - cmin 7926   # cap 8336    / cdiv 8425   abscabs 10762   ↾t crest 12109   MetOpencmopn 12143   Topctop 12153   intcnt 12251   lim CC climc 12781    _D cdv 12782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-pm 6538  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-xadd 9553  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-rest 12111  df-topgen 12130  df-psmet 12145  df-xmet 12146  df-met 12147  df-bl 12148  df-mopn 12149  df-top 12154  df-topon 12167  df-bases 12199  df-ntr 12254  df-limced 12783  df-dvap 12784
This theorem is referenced by:  dvfgg  12815  dvidlemap  12818  dvmulxxbr  12824  dviaddf  12827  dvimulf  12828  dvcoapbr  12829
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