Theorem reldvg 15393

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	|- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables f s w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
2		cnex 8146	. . . . . 6 |- CC e. _V
3	2	elpw2 4245	. . . . 5 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. ~P CC )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
6		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 15247	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top )
9	4	elexd 2814	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. _V )
10		resttop 14884	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12		elpmi 6831	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
13	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
15	6	cntoptopon 15246	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 14731	. . . . . . . . . 10 |- CC = U. ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	restuni 14886	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S C_ CC ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	8, 1, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19	14, 18	sseqtrd 3263	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
20		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
21	20	ntrss3 14837	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	11, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
23		uniexg 4534	. . . . . . 7 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top -> U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V )
24		elpw2g 4244	. . . . . . 7 |- ( U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
26	22, 25	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
27		vex 2803	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
28	27	snex 4273	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
29		limccl 15373	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) C_ CC
30	2, 29	ssexi 4225	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) e. _V
31	28, 30	xpex 4840	. . . . . . 7 |- ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
32	31	rgenw 2585	. . . . . 6 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
33	32	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
34		iunexg 6276	. . . . 5 |- ( ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) /\ A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
35	26, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
36		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> s = S )
37	36	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
38	37	fveq2d 5639	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) = ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
39		dmeq 4929	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> dom f = dom F )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> dom f = dom F )
41	38, 40	fveq12d 5642	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) = ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
42	40	rabeqdv 2794	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> { w e. dom f | w # x } = { w e. dom F | w # x } )
43		fveq1 5634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
45		fveq1 5634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
47	44, 46	oveq12d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) )
48	47	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
49	42, 48	mpteq12dv 4169	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) )
50	49	oveq1d 6028	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
51	50	xpeq2d 4747	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
52	41, 51	iuneq12d 3992	. . . . 5 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
53		oveq2 6021	. . . . 5 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
54		df-dvap 15371	. . . . 5 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
55	52, 53, 54	ovmpox 6145	. . . 4 |- ( ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
57		relxp 4833	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
58	57	rgenw 2585	. . . . 5 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
59		reliun 4846	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
60	58, 59	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
61		df-rel 4730	. . . 4 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V ) )
62	60, 61	mpbi 145	. . 3 |- U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V )
63	56, 62	eqsstrdi 3277	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
64		df-rel 4730	. 2 |- ( Rel ( S _D F ) <-> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
65	63, 64	sylibr 134	1 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   {csn 3667   U.cuni 3891   U_ciun 3968   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   X. cxp 4721   dom cdm 4723   o. ccom 4727   Rel wrel 4728   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ^pm cpm 6813   CCcc 8020   - cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842   abscabs 11548   ↾_t crest 13312   MetOpencmopn 14545   Topctop 14711   intcnt 14807   lim CC climc 15368   _D cdv 15369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pm 6815  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-ntr 14810  df-limced 15370  df-dvap 15371

This theorem is referenced by:  dvfgg  15402  dvidlemap  15405  dvidrelem  15406  dvidsslem  15407  dvmulxxbr  15416  dviaddf  15419  dvimulf  15420  dvcoapbr  15421