Theorem reldvg 14999

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	|- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables f s w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
2		cnex 8020	. . . . . 6 |- CC e. _V
3	2	elpw2 4191	. . . . 5 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. ~P CC )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
6		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 14853	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top )
9	4	elexd 2776	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. _V )
10		resttop 14490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12		elpmi 6735	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
13	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
15	6	cntoptopon 14852	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 14337	. . . . . . . . . 10 |- CC = U. ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	restuni 14492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S C_ CC ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	8, 1, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19	14, 18	sseqtrd 3222	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
20		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
21	20	ntrss3 14443	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	11, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
23		uniexg 4475	. . . . . . 7 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top -> U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V )
24		elpw2g 4190	. . . . . . 7 |- ( U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
26	22, 25	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
27		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
28	27	snex 4219	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
29		limccl 14979	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) C_ CC
30	2, 29	ssexi 4172	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) e. _V
31	28, 30	xpex 4779	. . . . . . 7 |- ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
32	31	rgenw 2552	. . . . . 6 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
33	32	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
34		iunexg 6185	. . . . 5 |- ( ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) /\ A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
35	26, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
36		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> s = S )
37	36	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
38	37	fveq2d 5565	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) = ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
39		dmeq 4867	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> dom f = dom F )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> dom f = dom F )
41	38, 40	fveq12d 5568	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) = ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
42	40	rabeqdv 2757	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> { w e. dom f | w # x } = { w e. dom F | w # x } )
43		fveq1 5560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
45		fveq1 5560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
47	44, 46	oveq12d 5943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) )
48	47	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
49	42, 48	mpteq12dv 4116	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) )
50	49	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
51	50	xpeq2d 4688	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
52	41, 51	iuneq12d 3941	. . . . 5 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
53		oveq2 5933	. . . . 5 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
54		df-dvap 14977	. . . . 5 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
55	52, 53, 54	ovmpox 6055	. . . 4 |- ( ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
57		relxp 4773	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
58	57	rgenw 2552	. . . . 5 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
59		reliun 4785	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
60	58, 59	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
61		df-rel 4671	. . . 4 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V ) )
62	60, 61	mpbi 145	. . 3 |- U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V )
63	56, 62	eqsstrdi 3236	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
64		df-rel 4671	. 2 |- ( Rel ( S _D F ) <-> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
65	63, 64	sylibr 134	1 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ~Pcpw 3606   {csn 3623   U.cuni 3840   U_ciun 3917   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   dom cdm 4664   o. ccom 4668   Rel wrel 4669   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^pm cpm 6717   CCcc 7894   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   abscabs 11179   ↾_t crest 12941   MetOpencmopn 14173   Topctop 14317   intcnt 14413   lim CC climc 14974   _D cdv 14975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-pm 6719  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-limced 14976  df-dvap 14977

This theorem is referenced by:  dvfgg  15008  dvidlemap  15011  dvidrelem  15012  dvidsslem  15013  dvmulxxbr  15022  dviaddf  15025  dvimulf  15026  dvcoapbr  15027