Theorem reldvg 12856

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	|- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables f s w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
2		cnex 7768	. . . . . 6 |- CC e. _V
3	2	elpw2 4090	. . . . 5 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
4	1, 3	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. ~P CC )
5		simpr 109	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
6		eqid 2140	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 12741	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top )
9	4	elexd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. _V )
10		resttop 12378	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
11	8, 9, 10	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12		elpmi 6569	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
13	12	simprd 113	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
14	13	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
15	6	cntoptopon 12740	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 12223	. . . . . . . . . 10 |- CC = U. ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	restuni 12380	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S C_ CC ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	8, 1, 17	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19	14, 18	sseqtrd 3140	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
20		eqid 2140	. . . . . . . 8 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
21	20	ntrss3 12331	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	11, 19, 21	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
23		uniexg 4369	. . . . . . 7 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top -> U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V )
24		elpw2g 4089	. . . . . . 7 |- ( U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
26	22, 25	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
27		vex 2692	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
28	27	snex 4117	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
29		limccl 12836	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) C_ CC
30	2, 29	ssexi 4074	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) e. _V
31	28, 30	xpex 4662	. . . . . . 7 |- ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
32	31	rgenw 2490	. . . . . 6 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
33	32	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
34		iunexg 6025	. . . . 5 |- ( ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) /\ A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
35	26, 33, 34	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
36		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> s = S )
37	36	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
38	37	fveq2d 5433	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) = ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
39		dmeq 4747	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> dom f = dom F )
40	39	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> dom f = dom F )
41	38, 40	fveq12d 5436	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) = ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
42	40	rabeqdv 2683	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> { w e. dom f | w # x } = { w e. dom F | w # x } )
43		fveq1 5428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
45		fveq1 5428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
47	44, 46	oveq12d 5800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) )
48	47	oveq1d 5797	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
49	42, 48	mpteq12dv 4018	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) )
50	49	oveq1d 5797	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
51	50	xpeq2d 4571	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
52	41, 51	iuneq12d 3845	. . . . 5 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
53		oveq2 5790	. . . . 5 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
54		df-dvap 12834	. . . . 5 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
55	52, 53, 54	ovmpox 5907	. . . 4 |- ( ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
57		relxp 4656	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
58	57	rgenw 2490	. . . . 5 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
59		reliun 4668	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
60	58, 59	mpbir 145	. . . 4 |- Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
61		df-rel 4554	. . . 4 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V ) )
62	60, 61	mpbi 144	. . 3 |- U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V )
63	56, 62	eqsstrdi 3154	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
64		df-rel 4554	. 2 |- ( Rel ( S _D F ) <-> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
65	63, 64	sylibr 133	1 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   {csn 3532   U.cuni 3744   U_ciun 3821   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   X. cxp 4545   dom cdm 4547   o. ccom 4551   Rel wrel 4552   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ^pm cpm 6551   CCcc 7642   - cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456   abscabs 10801   ↾_t crest 12159   MetOpencmopn 12193   Topctop 12203   intcnt 12301   lim CC climc 12831   _D cdv 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-pm 6553  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by:  dvfgg  12865  dvidlemap  12868  dvmulxxbr  12874  dviaddf  12877  dvimulf  12878  dvcoapbr  12879