Theorem reldvg 15266

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	|- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables f s w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
2		cnex 8084	. . . . . 6 |- CC e. _V
3	2	elpw2 4217	. . . . 5 |- ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. ~P CC )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
6		eqid 2207	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 15120	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top )
9	4	elexd 2790	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S e. _V )
10		resttop 14757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12		elpmi 6777	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
13	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
15	6	cntoptopon 15119	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 14604	. . . . . . . . . 10 |- CC = U. ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	restuni 14759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S C_ CC ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	8, 1, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19	14, 18	sseqtrd 3239	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
20		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
21	20	ntrss3 14710	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	11, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
23		uniexg 4504	. . . . . . 7 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top -> U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V )
24		elpw2g 4216	. . . . . . 7 |- ( U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. _V -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
26	22, 25	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
27		vex 2779	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
28	27	snex 4245	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
29		limccl 15246	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) C_ CC
30	2, 29	ssexi 4198	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) e. _V
31	28, 30	xpex 4808	. . . . . . 7 |- ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
32	31	rgenw 2563	. . . . . 6 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V
33	32	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
34		iunexg 6227	. . . . 5 |- ( ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ~P U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) /\ A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
35	26, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V )
36		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> s = S )
37	36	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
38	37	fveq2d 5603	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) = ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
39		dmeq 4897	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> dom f = dom F )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> dom f = dom F )
41	38, 40	fveq12d 5606	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) = ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
42	40	rabeqdv 2770	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> { w e. dom f | w # x } = { w e. dom F | w # x } )
43		fveq1 5598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
45		fveq1 5598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
47	44, 46	oveq12d 5985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) )
48	47	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
49	42, 48	mpteq12dv 4142	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) )
50	49	oveq1d 5982	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
51	50	xpeq2d 4717	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
52	41, 51	iuneq12d 3965	. . . . 5 |- ( ( s = S /\ f = F ) -> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
53		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
54		df-dvap 15244	. . . . 5 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom f | w # x } |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
55	52, 53, 54	ovmpox 6097	. . . 4 |- ( ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) e. _V ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
57		relxp 4802	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
58	57	rgenw 2563	. . . . 5 |- A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
59		reliun 4814	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> A. x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) Rel ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
60	58, 59	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
61		df-rel 4700	. . . 4 |- ( Rel U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V ) )
62	60, 61	mpbi 145	. . 3 |- U_ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) C_ ( _V X. _V )
63	56, 62	eqsstrdi 3253	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
64		df-rel 4700	. 2 |- ( Rel ( S _D F ) <-> ( S _D F ) C_ ( _V X. _V ) )
65	63, 64	sylibr 134	1 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   {crab 2490   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   {csn 3643   U.cuni 3864   U_ciun 3941   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   X. cxp 4691   dom cdm 4693   o. ccom 4697   Rel wrel 4698   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^pm cpm 6759   CCcc 7958   - cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780   abscabs 11423   ↾_t crest 13186   MetOpencmopn 14418   Topctop 14584   intcnt 14680   lim CC climc 15241   _D cdv 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-pm 6761  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-limced 15243  df-dvap 15244

This theorem is referenced by:  dvfgg  15275  dvidlemap  15278  dvidrelem  15279  dvidsslem  15280  dvmulxxbr  15289  dviaddf  15292  dvimulf  15293  dvcoapbr  15294