Theorem ixxf 9711

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by FL, 14-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxf	|- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*

Distinct variable groups:   x, y, z, R   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3187	. . . 4 |- { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } C_ RR*
2		xrex 9669	. . . . 5 |- RR* e. _V
3	2	elpw2 4090	. . . 4 |- ( { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } e. ~P RR* <-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } C_ RR* )
4	1, 3	mpbir 145	. . 3 |- { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } e. ~P RR*
5	4	rgen2w 2491	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } e. ~P RR*
6		ixx.1	. . 3 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
7	6	fmpo 6107	. 2 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } e. ~P RR* <-> O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* )
8	5, 7	mpbi 144	1 |- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   -->wf 5127   e. cmpo 5784   RR*cxr 7823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828

This theorem is referenced by:  ixxex  9712  ixxssxr  9713  iccf  9785