Theorem ixxf 10300

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by FL, 14-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxf	|- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*

Distinct variable groups:   x, y, z, R   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3333	. . . 4 |- { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } C_ RR*
2		xrex 10258	. . . . 5 |- RR* e. _V
3	2	elpw2 4293	. . . 4 |- ( { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } e. ~P RR* <-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } C_ RR* )
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 |- { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } e. ~P RR*
5	4	rgen2w 2606	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } e. ~P RR*
6		ixx.1	. . 3 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
7	6	fmpo 6437	. 2 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } e. ~P RR* <-> O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* )
8	5, 7	mpbi 145	1 |- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   -->wf 5373   e. cmpo 6087   RR*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364

This theorem is used by:  ixxex  10301  ixxssxr  10302  iccf  10374