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Theorem cncfval 13353
Description: The value of the continuous complex function operation is the set of continuous functions from A to B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cncfval |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
Distinct variable groups:   w, f, x, y, z, A   B, f, w, x, y, z
Proof of Theorem cncfval
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 7898 . . 3 |- CC e. _V
21elpw2 4143 . 2 |- ( A e. ~P CC <-> A C_ CC )
31elpw2 4143 . 2 |- ( B e. ~P CC <-> B C_ CC )
4 mapvalg 6636 . . . . . 6 |- ( ( B e. ~P CC /\ A e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
54ancoms 266 . . . . 5 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
6 mapex 6632 . . . . 5 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> { f | f : A --> B } e. _V )
75, 6eqeltrd 2247 . . . 4 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) e. _V )
8 rabexg 4132 . . . 4 |- ( ( B ^m A ) e. _V -> { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V )
97, 8syl 14 . . 3 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V )
10 oveq2 5861 . . . . 5 |- ( a = A -> ( b ^m a ) = ( b ^m A ) )
11 raleq 2665 . . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1211rexbidv 2471 . . . . . . 7 |- ( a = A -> ( E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1312ralbidv 2470 . . . . . 6 |- ( a = A -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1413raleqbi1dv 2673 . . . . 5 |- ( a = A -> ( A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1510, 14rabeqbidv 2725 . . . 4 |- ( a = A -> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } = { f e. ( b ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
16 oveq1 5860 . . . . 5 |- ( b = B -> ( b ^m A ) = ( B ^m A ) )
1716rabeqdv 2724 . . . 4 |- ( b = B -> { f e. ( b ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
18 df-cncf 13352 . . . 4 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
1915, 17, 18ovmpog 5987 . . 3 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC /\ { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
209, 19mpd3an3 1333 . 2 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
212, 3, 20syl2anbr 290 1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   class class class wbr 3989   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626   CCcc 7772   < clt 7954   - cmin 8090   RR+crp 9610   abscabs 10961   -cn->ccncf 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-cncf 13352
This theorem is referenced by:  elcncf  13354
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