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Theorem cncfval 14544
Description: The value of the continuous complex function operation is the set of continuous functions from A to B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cncfval |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
Distinct variable groups:   w, f, x, y, z, A   B, f, w, x, y, z
Proof of Theorem cncfval
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 7970 . . 3 |- CC e. _V
21elpw2 4178 . 2 |- ( A e. ~P CC <-> A C_ CC )
31elpw2 4178 . 2 |- ( B e. ~P CC <-> B C_ CC )
4 mapvalg 6688 . . . . . 6 |- ( ( B e. ~P CC /\ A e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
54ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
6 mapex 6684 . . . . 5 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> { f | f : A --> B } e. _V )
75, 6eqeltrd 2266 . . . 4 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) e. _V )
8 rabexg 4164 . . . 4 |- ( ( B ^m A ) e. _V -> { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V )
97, 8syl 14 . . 3 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V )
10 oveq2 5908 . . . . 5 |- ( a = A -> ( b ^m a ) = ( b ^m A ) )
11 raleq 2686 . . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1211rexbidv 2491 . . . . . . 7 |- ( a = A -> ( E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1312ralbidv 2490 . . . . . 6 |- ( a = A -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1413raleqbi1dv 2694 . . . . 5 |- ( a = A -> ( A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1510, 14rabeqbidv 2747 . . . 4 |- ( a = A -> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } = { f e. ( b ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
16 oveq1 5907 . . . . 5 |- ( b = B -> ( b ^m A ) = ( B ^m A ) )
1716rabeqdv 2746 . . . 4 |- ( b = B -> { f e. ( b ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
18 df-cncf 14543 . . . 4 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
1915, 17, 18ovmpog 6035 . . 3 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC /\ { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
209, 19mpd3an3 1349 . 2 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
212, 3, 20syl2anbr 292 1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   ~Pcpw 3593   class class class wbr 4021   -->wf 5234   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   ^m cmap 6678   CCcc 7844   < clt 8027   - cmin 8163   RR+crp 9689   abscabs 11047   -cn->ccncf 14542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-map 6680  df-cncf 14543
This theorem is referenced by:  elcncf  14545
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