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Theorem cncfval 11932
Description: The value of the continuous complex function operation is the set of continuous functions from  A to  B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cncfval  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
Distinct variable groups:    w, f, x, y, z, A    B, f, w, x, y, z

Proof of Theorem cncfval
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 7529 . . 3  |-  CC  e.  _V
21elpw2 4001 . 2  |-  ( A  e.  ~P CC  <->  A  C_  CC )
31elpw2 4001 . 2  |-  ( B  e.  ~P CC  <->  B  C_  CC )
4 mapvalg 6431 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ~P CC  /\  A  e.  ~P CC )  ->  ( B  ^m  A )  =  {
f  |  f : A --> B } )
54ancoms 265 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~P CC  /\  B  e.  ~P CC )  ->  ( B  ^m  A )  =  {
f  |  f : A --> B } )
6 mapex 6427 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~P CC  /\  B  e.  ~P CC )  ->  { f  |  f : A --> B }  e.  _V )
75, 6eqeltrd 2165 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P CC  /\  B  e.  ~P CC )  ->  ( B  ^m  A )  e.  _V )
8 rabexg 3990 . . . 4  |-  ( ( B  ^m  A )  e.  _V  ->  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  e.  _V )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P CC  /\  B  e.  ~P CC )  ->  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  e.  _V )
10 oveq2 5676 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
b  ^m  a )  =  ( b  ^m  A ) )
11 raleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( A. w  e.  a 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1211rexbidv 2382 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( f `  x )  -  (
f `  w )
) )  <  y
)  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1312ralbidv 2381 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1413raleqbi1dv 2573 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1510, 14rabeqbidv 2617 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { f  e.  ( b  ^m  a )  |  A. x  e.  a  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  =  { f  e.  ( b  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
16 oveq1 5675 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  A )  =  ( B  ^m  A ) )
1716rabeqdv 2616 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { f  e.  ( b  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
18 df-cncf 11931 . . . 4  |-  -cn->  =  ( a  e.  ~P CC ,  b  e.  ~P CC  |->  { f  e.  ( b  ^m  a
)  |  A. x  e.  a  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
1915, 17, 18ovmpt2g 5795 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P CC  /\  B  e.  ~P CC  /\ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  e.  _V )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
209, 19mpd3an3 1275 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P CC  /\  B  e.  ~P CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
212, 3, 20syl2anbr 287 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   {cab 2075   A.wral 2360   E.wrex 2361   {crab 2364   _Vcvv 2622    C_ wss 3002   ~Pcpw 3435   class class class wbr 3853   -->wf 5026   ` cfv 5030  (class class class)co 5668    ^m cmap 6421   CCcc 7411    < clt 7585    - cmin 7716   RR+crp 9197   abscabs 10493   -cn->ccncf 11930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-map 6423  df-cncf 11931
This theorem is referenced by:  elcncf  11933
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