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Theorem cncfval 15437
Description: The value of the continuous complex function operation is the set of continuous functions from A to B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cncfval |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
Distinct variable groups:   w, f, x, y, z, A   B, f, w, x, y, z
Proof of Theorem cncfval
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8251 . . 3 |- CC e. _V
21elpw2 4269 . 2 |- ( A e. ~P CC <-> A C_ CC )
31elpw2 4269 . 2 |- ( B e. ~P CC <-> B C_ CC )
4 mapvalg 6892 . . . . . 6 |- ( ( B e. ~P CC /\ A e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
54ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) = { f | f : A --> B } )
6 mapex 6888 . . . . 5 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> { f | f : A --> B } e. _V )
75, 6eqeltrd 2309 . . . 4 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( B ^m A ) e. _V )
8 rabexg 4255 . . . 4 |- ( ( B ^m A ) e. _V -> { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V )
97, 8syl 14 . . 3 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V )
10 oveq2 6058 . . . . 5 |- ( a = A -> ( b ^m a ) = ( b ^m A ) )
11 raleq 2741 . . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1211rexbidv 2543 . . . . . . 7 |- ( a = A -> ( E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1312ralbidv 2542 . . . . . 6 |- ( a = A -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1413raleqbi1dv 2753 . . . . 5 |- ( a = A -> ( A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
1510, 14rabeqbidv 2808 . . . 4 |- ( a = A -> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } = { f e. ( b ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
16 oveq1 6057 . . . . 5 |- ( b = B -> ( b ^m A ) = ( B ^m A ) )
1716rabeqdv 2807 . . . 4 |- ( b = B -> { f e. ( b ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
18 df-cncf 15436 . . . 4 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
1915, 17, 18ovmpog 6188 . . 3 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC /\ { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
209, 19mpd3an3 1375 . 2 |- ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
212, 3, 20syl2anbr 292 1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   class class class wbr 4109   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   CCcc 8125   < clt 8308   - cmin 8444   RR+crp 9986   abscabs 11682   -cn->ccncf 15435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-map 6884  df-cncf 15436
This theorem is referenced by:  elcncf  15438
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