Theorem elqsn0 6878

Description: A quotient set doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elqsn0	|- ( ( dom R = A /\ B e. ( A /. R ) ) -> B =/= (/) )

Proof of Theorem elqsn0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsn0m 6877	. 2 |- ( ( dom R = A /\ B e. ( A /. R ) ) -> E. x x e. B )
2		n0r 3535	. 2 |- ( E. x x e. B -> B =/= (/) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ( dom R = A /\ B e. ( A /. R ) ) -> B =/= (/) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   dom cdm 4774   /.cqs 6806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-ec 6809  df-qs 6813

This theorem is used by:  0nnq  7731  0nsr  8116