Theorem elqsn0 6621

Description: A quotient set doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elqsn0	|- ( ( dom R = A /\ B e. ( A /. R ) ) -> B =/= (/) )

Proof of Theorem elqsn0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsn0m 6620	. 2 |- ( ( dom R = A /\ B e. ( A /. R ) ) -> E. x x e. B )
2		n0r 3450	. 2 |- ( E. x x e. B -> B =/= (/) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ( dom R = A /\ B e. ( A /. R ) ) -> B =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2159   =/= wne 2359   (/)c0 3436   dom cdm 4640   /.cqs 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-cnv 4648  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-ec 6554  df-qs 6558

This theorem is referenced by:  0nnq  7380  0nsr  7765