Theorem 0nnq 7681

Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0nnq	|- -. (/) e. Q.

Proof of Theorem 0nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2423	. . 3 |- -. (/) =/= (/)
2		enqer 7675	. . . . 5 |- ~Q Er ( N. X. N. )
3		erdm 6779	. . . . 5 |- ( ~Q Er ( N. X. N. ) -> dom ~Q = ( N. X. N. ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom ~Q = ( N. X. N. )
5		elqsn0 6840	. . . 4 |- ( ( dom ~Q = ( N. X. N. ) /\ (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) -> (/) =/= (/) )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> (/) =/= (/) )
7	1, 6	mto 668	. 2 |- -. (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8		df-nqqs 7665	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	8	eleq2i 2301	. 2 |- ( (/) e. Q. <-> (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
10	7, 9	mtbir 678	1 |- -. (/) e. Q.

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   (/)c0 3510   X. cxp 4749   dom cdm 4751   Er wer 6766   /.cqs 6768   N.cnpi 7589   ~Q ceq 7596   Q.cnq 7597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7621  df-mi 7623  df-enq 7664  df-nqqs 7665

This theorem is referenced by: (None)