Theorem 0nnq 7263

Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0nnq	|- -. (/) e. Q.

Proof of Theorem 0nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2333	. . 3 |- -. (/) =/= (/)
2		enqer 7257	. . . . 5 |- ~Q Er ( N. X. N. )
3		erdm 6479	. . . . 5 |- ( ~Q Er ( N. X. N. ) -> dom ~Q = ( N. X. N. ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom ~Q = ( N. X. N. )
5		elqsn0 6538	. . . 4 |- ( ( dom ~Q = ( N. X. N. ) /\ (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) -> (/) =/= (/) )
6	4, 5	mpan 421	. . 3 |- ( (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> (/) =/= (/) )
7	1, 6	mto 652	. 2 |- -. (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8		df-nqqs 7247	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	8	eleq2i 2221	. 2 |- ( (/) e. Q. <-> (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
10	7, 9	mtbir 661	1 |- -. (/) e. Q.

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1332   e. wcel 2125   =/= wne 2324   (/)c0 3390   X. cxp 4577   dom cdm 4579   Er wer 6466   /.cqs 6468   N.cnpi 7171   ~Q ceq 7178   Q.cnq 7179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-oadd 6357  df-omul 6358  df-er 6469  df-ec 6471  df-qs 6475  df-ni 7203  df-mi 7205  df-enq 7246  df-nqqs 7247

This theorem is referenced by: (None)