ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0nnq Unicode version

Theorem 0nnq 6826
Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
0nnq  |-  -.  (/)  e.  Q.

Proof of Theorem 0nnq
StepHypRef Expression
1 neirr 2258 . . 3  |-  -.  (/)  =/=  (/)
2 enqer 6820 . . . . 5  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
3 erdm 6232 . . . . 5  |-  (  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )  ->  dom  ~Q  =  ( N.  X.  N. )
)
42, 3ax-mp 7 . . . 4  |-  dom  ~Q  =  ( N.  X.  N. )
5 elqsn0 6291 . . . 4  |-  ( ( dom  ~Q  =  ( N.  X.  N. )  /\  (/)  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )  ->  (/) 
=/=  (/) )
64, 5mpan 415 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )  -> 
(/)  =/=  (/) )
71, 6mto 621 . 2  |-  -.  (/)  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
8 df-nqqs 6810 . . 3  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
98eleq2i 2149 . 2  |-  ( (/)  e.  Q.  <->  (/)  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
107, 9mtbir 629 1  |-  -.  (/)  e.  Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   (/)c0 3269    X. cxp 4399   dom cdm 4401    Er wer 6219   /.cqs 6221   N.cnpi 6734    ~Q ceq 6741   Q.cnq 6742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-mi 6768  df-enq 6809  df-nqqs 6810
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator