ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0nnq Unicode version

Theorem 0nnq 6902
Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
0nnq  |-  -.  (/)  e.  Q.

Proof of Theorem 0nnq
StepHypRef Expression
1 neirr 2264 . . 3  |-  -.  (/)  =/=  (/)
2 enqer 6896 . . . . 5  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
3 erdm 6282 . . . . 5  |-  (  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )  ->  dom  ~Q  =  ( N.  X.  N. )
)
42, 3ax-mp 7 . . . 4  |-  dom  ~Q  =  ( N.  X.  N. )
5 elqsn0 6341 . . . 4  |-  ( ( dom  ~Q  =  ( N.  X.  N. )  /\  (/)  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )  ->  (/) 
=/=  (/) )
64, 5mpan 415 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )  -> 
(/)  =/=  (/) )
71, 6mto 623 . 2  |-  -.  (/)  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
8 df-nqqs 6886 . . 3  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
98eleq2i 2154 . 2  |-  ( (/)  e.  Q.  <->  (/)  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
107, 9mtbir 631 1  |-  -.  (/)  e.  Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   (/)c0 3284    X. cxp 4426   dom cdm 4428    Er wer 6269   /.cqs 6271   N.cnpi 6810    ~Q ceq 6817   Q.cnq 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-mi 6844  df-enq 6885  df-nqqs 6886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator