Theorem 0nnq 7725

Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0nnq	|- -. (/) e. Q.

Proof of Theorem 0nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2429	. . 3 |- -. (/) =/= (/)
2		enqer 7719	. . . . 5 |- ~Q Er ( N. X. N. )
3		erdm 6811	. . . . 5 |- ( ~Q Er ( N. X. N. ) -> dom ~Q = ( N. X. N. ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom ~Q = ( N. X. N. )
5		elqsn0 6872	. . . 4 |- ( ( dom ~Q = ( N. X. N. ) /\ (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) -> (/) =/= (/) )
6	4, 5	mpan 428	. . 3 |- ( (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> (/) =/= (/) )
7	1, 6	mto 672	. 2 |- -. (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8		df-nqqs 7709	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
9	8	eleq2i 2305	. 2 |- ( (/) e. Q. <-> (/) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
10	7, 9	mtbir 682	1 |- -. (/) e. Q.

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   X. cxp 4770   dom cdm 4772   Er wer 6798   /.cqs 6800   N.cnpi 7633   ~Q ceq 7640   Q.cnq 7641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-enq 7708  df-nqqs 7709

This theorem is referenced by: (None)