Theorem elqsn0 6631

Description: A quotient set doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elqsn0	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem elqsn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsn0m 6630	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
2		n0r 3451	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∅c0 3437  dom cdm 4644   / cqs 6559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-ec 6562  df-qs 6566

This theorem is referenced by:  0nnq  7394  0nsr  7779