ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elqsn0 GIF version

Theorem elqsn0 6306
Description: A quotient set doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
elqsn0 ((dom 𝑅 = 𝐴𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem elqsn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elqsn0m 6305 . 2 ((dom 𝑅 = 𝐴𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → ∃𝑥 𝑥𝐵)
2 n0r 3285 . 2 (∃𝑥 𝑥𝐵𝐵 ≠ ∅)
31, 2syl 14 1 ((dom 𝑅 = 𝐴𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  wne 2251  c0 3275  dom cdm 4409   / cqs 6236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3930  ax-pow 3982  ax-pr 4008
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-br 3820  df-opab 3874  df-xp 4415  df-cnv 4417  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-ec 6239  df-qs 6243
This theorem is referenced by:  0nnq  6859  0nsr  7231
  Copyright terms: Public domain W3C validator