Theorem 0nsr 7669

Description: The empty set is not a signed real. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0nsr	|- -. (/) e. R.

Proof of Theorem 0nsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2157	. 2 |- (/) = (/)
2		enrer 7655	. . . . . 6 |- ~R Er ( P. X. P. )
3		erdm 6490	. . . . . 6 |- ( ~R Er ( P. X. P. ) -> dom ~R = ( P. X. P. ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ~R = ( P. X. P. )
5		elqsn0 6549	. . . . 5 |- ( ( dom ~R = ( P. X. P. ) /\ (/) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) -> (/) =/= (/) )
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 |- ( (/) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) -> (/) =/= (/) )
7		df-nr 7647	. . . 4 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
8	6, 7	eleq2s 2252	. . 3 |- ( (/) e. R. -> (/) =/= (/) )
9	8	necon2bi 2382	. 2 |- ( (/) = (/) -> -. (/) e. R. )
10	1, 9	ax-mp 5	1 |- -. (/) e. R.

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   (/)c0 3394   X. cxp 4584   dom cdm 4586   Er wer 6477   /.cqs 6479   P.cnp 7211   ~R cer 7216   R.cnr 7217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-iplp 7388  df-enr 7646  df-nr 7647

This theorem is referenced by: (None)