Theorem elrel 4765

Description: A member of a relation is an ordered pair. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elrel	|- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   R( x, y)

Proof of Theorem elrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4670	. . . 4 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( Rel R -> R C_ ( _V X. _V ) )
3	2	sselda 3183	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> A e. ( _V X. _V ) )
4		elvv 4725	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
5	3, 4	sylib 122	1 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   <.cop 3625   X. cxp 4661   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670

This theorem is referenced by:  eliunxp  4805  elres  4982  unielrel  5197  rntpos  6315