Theorem elrel 4713

Description: A member of a relation is an ordered pair. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elrel	|- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   R( x, y)

Proof of Theorem elrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4618	. . . 4 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( Rel R -> R C_ ( _V X. _V ) )
3	2	sselda 3147	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> A e. ( _V X. _V ) )
4		elvv 4673	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
5	3, 4	sylib 121	1 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   <.cop 3586   X. cxp 4609   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618

This theorem is referenced by:  eliunxp  4750  elres  4927  unielrel  5138  rntpos  6236