Theorem eliunxp 4816

Description: Membership in a union of cross products. Analogue of elxp 4691 for nonconstant B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliunxp	|- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem eliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4783	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. B )
2	1	rgenw 2560	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( { x } X. B )
3		reliun 4795	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> A. x e. A Rel ( { x } X. B ) )
4	2, 3	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ x e. A ( { x } X. B )
5		elrel 4776	. . . 4 |- ( ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
7	6	pm4.71ri 392	. 2 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
8		nfiu1 3956	. . . 4 |- F/_ x U_ x e. A ( { x } X. B )
9	8	nfel2 2360	. . 3 |- F/ x C e. U_ x e. A ( { x } X. B )
10	9	19.41 1708	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
11		19.41v 1925	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
12		eleq1 2267	. . . . . . 7 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
13		opeliunxp 4729	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
15	14	pm5.32i 454	. . . . 5 |- ( ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
16	15	exbii 1627	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
17	11, 16	bitr3i 186	. . 3 |- ( ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
18	17	exbii 1627	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
19	7, 10, 18	3bitr2i 208	1 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   {csn 3632   <.cop 3635   U_ciun 3926   X. cxp 4672   Rel wrel 4679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-iun 3928  df-opab 4105  df-xp 4680  df-rel 4681

This theorem is referenced by:  raliunxp  4818  rexiunxp  4819  dfmpt3  5397  mpomptx  6035  fisumcom2  11691  fprodcom2fi  11879