Theorem eliunxp 4673

Description: Membership in a union of cross products. Analogue of elxp 4551 for nonconstant B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliunxp	|- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem eliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4643	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. B )
2	1	rgenw 2485	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( { x } X. B )
3		reliun 4655	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> A. x e. A Rel ( { x } X. B ) )
4	2, 3	mpbir 145	. . . 4 |- Rel U_ x e. A ( { x } X. B )
5		elrel 4636	. . . 4 |- ( ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
6	4, 5	mpan 420	. . 3 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
7	6	pm4.71ri 389	. 2 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
8		nfiu1 3838	. . . 4 |- F/_ x U_ x e. A ( { x } X. B )
9	8	nfel2 2292	. . 3 |- F/ x C e. U_ x e. A ( { x } X. B )
10	9	19.41 1664	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
11		19.41v 1874	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
12		eleq1 2200	. . . . . . 7 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
13		opeliunxp 4589	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	syl6bb 195	. . . . . 6 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
15	14	pm5.32i 449	. . . . 5 |- ( ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
16	15	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
17	11, 16	bitr3i 185	. . 3 |- ( ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
18	17	exbii 1584	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
19	7, 10, 18	3bitr2i 207	1 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2414   {csn 3522   <.cop 3525   U_ciun 3808   X. cxp 4532   Rel wrel 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-iun 3810  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541

This theorem is referenced by:  raliunxp  4675  rexiunxp  4676  dfmpt3  5240  mpomptx  5855  fisumcom2  11200