Theorem eliunxp 4914

Description: Membership in a union of cross products. Analogue of elxp 4786 for nonconstant B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliunxp	|- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem eliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4879	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. B )
2	1	rgenw 2605	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( { x } X. B )
3		reliun 4893	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> A. x e. A Rel ( { x } X. B ) )
4	2, 3	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ x e. A ( { x } X. B )
5		elrel 4872	. . . 4 |- ( ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
6	4, 5	mpan 428	. . 3 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
7	6	pm4.71ri 396	. 2 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
8		nfiu1 4037	. . . 4 |- F/_ x U_ x e. A ( { x } X. B )
9	8	nfel2 2405	. . 3 |- F/ x C e. U_ x e. A ( { x } X. B )
10	9	19.41 1738	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
11		19.41v 1958	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
12		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
13		opeliunxp 4825	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
15	14	pm5.32i 458	. . . . 5 |- ( ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
16	15	exbii 1658	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
17	11, 16	bitr3i 186	. . 3 |- ( ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
18	17	exbii 1658	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
19	7, 10, 18	3bitr2i 208	1 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {csn 3705   <.cop 3708   U_ciun 4007   X. cxp 4767   Rel wrel 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-iun 4009  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776

This theorem is referenced by:  raliunxp  4916  rexiunxp  4917  dfmpt3  5501  mpomptx  6169  fisumcom2  12183  fprodcom2fi  12371