Theorem eliunxp 4869

Description: Membership in a union of cross products. Analogue of elxp 4742 for nonconstant B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliunxp	|- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem eliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4835	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. B )
2	1	rgenw 2587	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( { x } X. B )
3		reliun 4848	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> A. x e. A Rel ( { x } X. B ) )
4	2, 3	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ x e. A ( { x } X. B )
5		elrel 4828	. . . 4 |- ( ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
7	6	pm4.71ri 392	. 2 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
8		nfiu1 4000	. . . 4 |- F/_ x U_ x e. A ( { x } X. B )
9	8	nfel2 2387	. . 3 |- F/ x C e. U_ x e. A ( { x } X. B )
10	9	19.41 1734	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
11		19.41v 1951	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
12		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
13		opeliunxp 4781	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
15	14	pm5.32i 454	. . . . 5 |- ( ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
16	15	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
17	11, 16	bitr3i 186	. . 3 |- ( ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
18	17	exbii 1653	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
19	7, 10, 18	3bitr2i 208	1 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   {csn 3669   <.cop 3672   U_ciun 3970   X. cxp 4723   Rel wrel 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-iun 3972  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732

This theorem is referenced by:  raliunxp  4871  rexiunxp  4872  dfmpt3  5455  mpomptx  6111  fisumcom2  11998  fprodcom2fi  12186