Theorem eliunxp 4768

Description: Membership in a union of cross products. Analogue of elxp 4645 for nonconstant B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliunxp	|- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem eliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4737	. . . . . 6 |- Rel ( { x } X. B )
2	1	rgenw 2532	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( { x } X. B )
3		reliun 4749	. . . . 5 |- ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> A. x e. A Rel ( { x } X. B ) )
4	2, 3	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ x e. A ( { x } X. B )
5		elrel 4730	. . . 4 |- ( ( Rel U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
7	6	pm4.71ri 392	. 2 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
8		nfiu1 3918	. . . 4 |- F/_ x U_ x e. A ( { x } X. B )
9	8	nfel2 2332	. . 3 |- F/ x C e. U_ x e. A ( { x } X. B )
10	9	19.41 1686	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. x E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
11		19.41v 1902	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
12		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
13		opeliunxp 4683	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
15	14	pm5.32i 454	. . . . 5 |- ( ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
16	15	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. y ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
17	11, 16	bitr3i 186	. . 3 |- ( ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
18	17	exbii 1605	. 2 |- ( E. x ( E. y C = <. x , y >. /\ C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
19	7, 10, 18	3bitr2i 208	1 |- ( C e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   {csn 3594   <.cop 3597   U_ciun 3888   X. cxp 4626   Rel wrel 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-iun 3890  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635

This theorem is referenced by:  raliunxp  4770  rexiunxp  4771  dfmpt3  5340  mpomptx  5969  fisumcom2  11449  fprodcom2fi  11637