ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eliunxp Unicode version

Theorem eliunxp 4575
Description: Membership in a union of cross products. Analogue of elxp 4455 for nonconstant  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliunxp  |-  ( C  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  E. x E. y ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem eliunxp
StepHypRef Expression
1 relxp 4547 . . . . . 6  |-  Rel  ( { x }  X.  B )
21rgenw 2430 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  Rel  ( { x }  X.  B
)
3 reliun 4558 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  A. x  e.  A  Rel  ( { x }  X.  B
) )
42, 3mpbir 144 . . . 4  |-  Rel  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)
5 elrel 4540 . . . 4  |-  ( ( Rel  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  /\  C  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) )  ->  E. x E. y  C  =  <. x ,  y
>. )
64, 5mpan 415 . . 3  |-  ( C  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  ->  E. x E. y  C  =  <. x ,  y
>. )
76pm4.71ri 384 . 2  |-  ( C  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  ( E. x E. y  C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) ) )
8 nfiu1 3760 . . . 4  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
98nfel2 2241 . . 3  |-  F/ x  C  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
10919.41 1621 . 2  |-  ( E. x ( E. y  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e. 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) )  <->  ( E. x E. y  C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) ) )
11 19.41v 1830 . . . 4  |-  ( E. y ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) )  <->  ( E. y  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) ) )
12 eleq1 2150 . . . . . . 7  |-  ( C  =  <. x ,  y
>.  ->  ( C  e. 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) ) )
13 opeliunxp 4493 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1412, 13syl6bb 194 . . . . . 6  |-  ( C  =  <. x ,  y
>.  ->  ( C  e. 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
1514pm5.32i 442 . . . . 5  |-  ( ( C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) )  <->  ( C  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
1615exbii 1541 . . . 4  |-  ( E. y ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) )  <->  E. y
( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
1711, 16bitr3i 184 . . 3  |-  ( ( E. y  C  = 
<. x ,  y >.  /\  C  e.  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) )  <->  E. y
( C  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
1817exbii 1541 . 2  |-  ( E. x ( E. y  C  =  <. x ,  y >.  /\  C  e. 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) )  <->  E. x E. y ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
197, 10, 183bitr2i 206 1  |-  ( C  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  E. x E. y ( C  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   {csn 3446   <.cop 3449   U_ciun 3730    X. cxp 4436   Rel wrel 4443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-iun 3732  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445
This theorem is referenced by:  raliunxp  4577  rexiunxp  4578  dfmpt3  5136  mpt2mptx  5739  fisumcom2  10828
  Copyright terms: Public domain W3C validator