Theorem eqrelrel 4712

Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4700. Use relrelss 5137 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eqrelrel	|- ( ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem eqrelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss 3301	. 2 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) <-> ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
2		ssrelrel 4711	. . . 4 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
3		ssrelrel 4711	. . . 4 |- ( B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( B C_ A <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
4	2, 3	bi2anan9 601	. . 3 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) ) )
5		eqss 3162	. . 3 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
6		2albiim 1481	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
7	6	albii 1463	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> A. x ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
8		19.26 1474	. . . 4 |- ( A. x ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
10	4, 5, 9	3bitr4g 222	. 2 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
11	1, 10	sylbir 134	1 |- ( ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   C_ wss 3121   <.cop 3586   X. cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617

This theorem is referenced by: (None)