Theorem eqrelrel 4775

Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4763. Use relrelss 5208 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eqrelrel	|- ( ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem eqrelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss 3346	. 2 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) <-> ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
2		ssrelrel 4774	. . . 4 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
3		ssrelrel 4774	. . . 4 |- ( B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( B C_ A <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
4	2, 3	bi2anan9 606	. . 3 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) ) )
5		eqss 3207	. . 3 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
6		2albiim 1510	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
7	6	albii 1492	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> A. x ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
8		19.26 1503	. . . 4 |- ( A. x ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
9	7, 8	bitri 184	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
10	4, 5, 9	3bitr4g 223	. 2 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
11	1, 10	sylbir 135	1 |- ( ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1370   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   u. cun 3163   C_ wss 3165   <.cop 3635   X. cxp 4672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-opab 4105  df-xp 4680

This theorem is referenced by: (None)