Theorem eqrelrel 4765

Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4753. Use relrelss 5197 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eqrelrel	|- ( ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem eqrelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss 3338	. 2 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) <-> ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
2		ssrelrel 4764	. . . 4 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
3		ssrelrel 4764	. . . 4 |- ( B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( B C_ A <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
4	2, 3	bi2anan9 606	. . 3 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) ) )
5		eqss 3199	. . 3 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
6		2albiim 1502	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
7	6	albii 1484	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> A. x ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
8		19.26 1495	. . . 4 |- ( A. x ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
9	7, 8	bitri 184	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
10	4, 5, 9	3bitr4g 223	. 2 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
11	1, 10	sylbir 135	1 |- ( ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   <.cop 3626   X. cxp 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-opab 4096  df-xp 4670

This theorem is referenced by: (None)