Theorem eqrelrel 4699

Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4687. Use relrelss 5124 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eqrelrel	|- ( ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem eqrelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss 3291	. 2 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) <-> ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
2		ssrelrel 4698	. . . 4 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
3		ssrelrel 4698	. . . 4 |- ( B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( B C_ A <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
4	2, 3	bi2anan9 596	. . 3 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) ) )
5		eqss 3152	. . 3 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
6		2albiim 1475	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
7	6	albii 1457	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> A. x ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
8		19.26 1468	. . . 4 |- ( A. x ( A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) <-> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) /\ A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. B -> <. <. x , y >. , z >. e. A ) ) )
10	4, 5, 9	3bitr4g 222	. 2 |- ( ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) /\ B C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
11	1, 10	sylbir 134	1 |- ( ( A u. B ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A = B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1340   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   u. cun 3109   C_ wss 3111   <.cop 3573   X. cxp 4596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-opab 4038  df-xp 4604

This theorem is referenced by: (None)