Theorem elres 4995

Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elres	|- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4987	. . . . 5 |- Rel ( B |` C )
2		elrel 4777	. . . . 5 |- ( ( Rel ( B |` C ) /\ A e. ( B |` C ) ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
4		eleq1 2268	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) <-> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
5	4	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
6		vex 2775	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	6	opelres 4964	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) <-> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
8	7	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
9	8	ancomd 267	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) )
10	5, 9	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) )
11	10	ancld 325	. . . . . 6 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
12		an12 561	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
13	11, 12	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
14	13	2eximdv 1905	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( E. x E. y A = <. x , y >. -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
15	3, 14	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
16		rexcom4 2795	. . . 4 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
17		df-rex 2490	. . . . 5 |- ( E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
18	17	exbii 1628	. . . 4 |- ( E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
19		excom 1687	. . . 4 |- ( E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
20	16, 18, 19	3bitri 206	. . 3 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
21	15, 20	sylibr 134	. 2 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
22	7	simplbi2com 1464	. . . . . 6 |- ( x e. C -> ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
23	4	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> A e. ( B |` C ) ) )
24	22, 23	syl9 72	. . . . 5 |- ( x e. C -> ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. B -> A e. ( B |` C ) ) ) )
25	24	impd 254	. . . 4 |- ( x e. C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
26	25	exlimdv 1842	. . 3 |- ( x e. C -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
27	26	rexlimiv 2617	. 2 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) )
28	21, 27	impbii 126	1 |- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   E.wrex 2485   <.cop 3636   |` cres 4677   Rel wrel 4680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-res 4687

This theorem is referenced by:  elsnres  4996