Theorem elres 4978

Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elres	|- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4970	. . . . 5 |- Rel ( B |` C )
2		elrel 4761	. . . . 5 |- ( ( Rel ( B |` C ) /\ A e. ( B |` C ) ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
4		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) <-> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
5	4	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
6		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	6	opelres 4947	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) <-> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
8	7	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
9	8	ancomd 267	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) )
10	5, 9	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) )
11	10	ancld 325	. . . . . 6 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
12		an12 561	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
13	11, 12	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
14	13	2eximdv 1893	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( E. x E. y A = <. x , y >. -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
15	3, 14	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
16		rexcom4 2783	. . . 4 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
17		df-rex 2478	. . . . 5 |- ( E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
18	17	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
19		excom 1675	. . . 4 |- ( E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
20	16, 18, 19	3bitri 206	. . 3 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
21	15, 20	sylibr 134	. 2 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
22	7	simplbi2com 1455	. . . . . 6 |- ( x e. C -> ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
23	4	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> A e. ( B |` C ) ) )
24	22, 23	syl9 72	. . . . 5 |- ( x e. C -> ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. B -> A e. ( B |` C ) ) ) )
25	24	impd 254	. . . 4 |- ( x e. C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
26	25	exlimdv 1830	. . 3 |- ( x e. C -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
27	26	rexlimiv 2605	. 2 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) )
28	21, 27	impbii 126	1 |- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   <.cop 3621   |` cres 4661   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-res 4671

This theorem is referenced by:  elsnres  4979