Theorem elres 4982

Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elres	|- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4974	. . . . 5 |- Rel ( B |` C )
2		elrel 4765	. . . . 5 |- ( ( Rel ( B |` C ) /\ A e. ( B |` C ) ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
4		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) <-> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
5	4	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
6		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	6	opelres 4951	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) <-> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
8	7	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
9	8	ancomd 267	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) )
10	5, 9	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) )
11	10	ancld 325	. . . . . 6 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
12		an12 561	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
13	11, 12	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
14	13	2eximdv 1896	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( E. x E. y A = <. x , y >. -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
15	3, 14	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
16		rexcom4 2786	. . . 4 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
17		df-rex 2481	. . . . 5 |- ( E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
18	17	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
19		excom 1678	. . . 4 |- ( E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
20	16, 18, 19	3bitri 206	. . 3 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
21	15, 20	sylibr 134	. 2 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
22	7	simplbi2com 1455	. . . . . 6 |- ( x e. C -> ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
23	4	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> A e. ( B |` C ) ) )
24	22, 23	syl9 72	. . . . 5 |- ( x e. C -> ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. B -> A e. ( B |` C ) ) ) )
25	24	impd 254	. . . 4 |- ( x e. C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
26	25	exlimdv 1833	. . 3 |- ( x e. C -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
27	26	rexlimiv 2608	. 2 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) )
28	21, 27	impbii 126	1 |- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3625   |` cres 4665   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-res 4675

This theorem is referenced by:  elsnres  4983