Theorem elres 5094

Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elres	|- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5086	. . . . 5 |- Rel ( B |` C )
2		elrel 4872	. . . . 5 |- ( ( Rel ( B |` C ) /\ A e. ( B |` C ) ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
3	1, 2	mpan 428	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
4		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) <-> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
5	4	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
6		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	6	opelres 5063	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) <-> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
8	7	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
9	8	ancomd 267	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) )
10	5, 9	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) )
11	10	ancld 325	. . . . . 6 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
12		an12 567	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
13	11, 12	imbitrdi 161	. . . . 5 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
14	13	2eximdv 1935	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( E. x E. y A = <. x , y >. -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
15	3, 14	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
16		rexcom4 2845	. . . 4 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
17		df-rex 2534	. . . . 5 |- ( E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
18	17	exbii 1658	. . . 4 |- ( E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
19		excom 1716	. . . 4 |- ( E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
20	16, 18, 19	3bitri 206	. . 3 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
21	15, 20	sylibr 134	. 2 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
22	7	simplbi2com 1494	. . . . . 6 |- ( x e. C -> ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
23	4	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> A e. ( B |` C ) ) )
24	22, 23	syl9 72	. . . . 5 |- ( x e. C -> ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. B -> A e. ( B |` C ) ) ) )
25	24	impd 254	. . . 4 |- ( x e. C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
26	25	exlimdv 1872	. . 3 |- ( x e. C -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
27	26	rexlimiv 2662	. 2 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) )
28	21, 27	impbii 126	1 |- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   <.cop 3708   |` cres 4771   Rel wrel 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-res 4781

This theorem is referenced by:  elsnres  5095