Theorem elsnres 4965

Description: Memebership in restriction to a singleton. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
elsnres.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
elsnres	|- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem elsnres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elres 4964	. 2 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
2		rexcom4 2775	. 2 |- ( E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
3		elsnres.1	. . . 4 |- C e. _V
4		opeq1 3796	. . . . . 6 |- ( x = C -> <. x , y >. = <. C , y >. )
5	4	eqeq2d 2201	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. C , y >. ) )
6	4	eleq1d 2258	. . . . 5 |- ( x = C -> ( <. x , y >. e. B <-> <. C , y >. e. B ) )
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) ) )
8	3, 7	rexsn 3654	. . 3 |- ( E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
9	8	exbii 1616	. 2 |- ( E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
10	1, 2, 9	3bitri 206	1 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   {csn 3610   <.cop 3613   |` cres 4649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-opab 4083  df-xp 4653  df-rel 4654  df-res 4659

This theorem is referenced by: (None)