Theorem elsnres 4946

Description: Memebership in restriction to a singleton. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
elsnres.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
elsnres	|- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem elsnres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elres 4945	. 2 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
2		rexcom4 2762	. 2 |- ( E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
3		elsnres.1	. . . 4 |- C e. _V
4		opeq1 3780	. . . . . 6 |- ( x = C -> <. x , y >. = <. C , y >. )
5	4	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. C , y >. ) )
6	4	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( x = C -> ( <. x , y >. e. B <-> <. C , y >. e. B ) )
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) ) )
8	3, 7	rexsn 3638	. . 3 |- ( E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
9	8	exbii 1605	. 2 |- ( E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
10	1, 2, 9	3bitri 206	1 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   {csn 3594   <.cop 3597   |` cres 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-res 4640

This theorem is referenced by: (None)