Theorem elsnres 5075

Description: Memebership in restriction to a singleton. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
elsnres.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
elsnres	|- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem elsnres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elres 5074	. 2 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
2		rexcom4 2837	. 2 |- ( E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
3		elsnres.1	. . . 4 |- C e. _V
4		opeq1 3883	. . . . . 6 |- ( x = C -> <. x , y >. = <. C , y >. )
5	4	eqeq2d 2244	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. C , y >. ) )
6	4	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( x = C -> ( <. x , y >. e. B <-> <. C , y >. e. B ) )
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) ) )
8	3, 7	rexsn 3733	. . 3 |- ( E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
9	8	exbii 1654	. 2 |- ( E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
10	1, 2, 9	3bitri 206	1 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   {csn 3689   <.cop 3692   |` cres 4751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-res 4761

This theorem is referenced by: (None)