Theorem elsnres 5050

Description: Memebership in restriction to a singleton. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
elsnres.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
elsnres	|- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem elsnres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elres 5049	. 2 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
2		rexcom4 2826	. 2 |- ( E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
3		elsnres.1	. . . 4 |- C e. _V
4		opeq1 3862	. . . . . 6 |- ( x = C -> <. x , y >. = <. C , y >. )
5	4	eqeq2d 2243	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. C , y >. ) )
6	4	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( x = C -> ( <. x , y >. e. B <-> <. C , y >. e. B ) )
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) ) )
8	3, 7	rexsn 3713	. . 3 |- ( E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
9	8	exbii 1653	. 2 |- ( E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
10	1, 2, 9	3bitri 206	1 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   {csn 3669   <.cop 3672   |` cres 4727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-res 4737

This theorem is referenced by: (None)