Theorem eqinftid 7188

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
eqinftid.2	|- ( ph -> C e. A )
eqinftid.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. y R C )
eqinftid.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ C R y ) ) -> E. z e. B z R y )

Assertion

Ref	Expression
eqinftid	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = C )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem eqinftid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqinftid.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		eqinftid.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. y R C )
3	2	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. y e. B -. y R C )
4		eqinftid.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ C R y ) ) -> E. z e. B z R y )
5	4	expr 375	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( C R y -> E. z e. B z R y ) )
6	5	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) )
7		eqinfti.ti	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	eqinfti 7187	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1374	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4083  infcinf 7150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-riota 5954  df-sup 7151  df-inf 7152

This theorem is referenced by:  infminti  7194