ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqinftid Unicode version

Theorem eqinftid 6860
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eqinfti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
eqinftid.2  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
eqinftid.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  -.  y R C )
eqinftid.4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  C R y ) )  ->  E. z  e.  B  z R y )
Assertion
Ref Expression
eqinftid  |-  ( ph  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C )
Distinct variable groups:    u, A, v, y, z    ph, u, v    u, R, v, y, z    u, B, v, y, z    u, C, v, y, z    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( z)

Proof of Theorem eqinftid
StepHypRef Expression
1 eqinftid.2 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
2 eqinftid.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  -.  y R C )
32ralrimiva 2479 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  -.  y R C )
4 eqinftid.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  C R y ) )  ->  E. z  e.  B  z R y )
54expr 370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )
65ralrimiva 2479 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )
7 eqinfti.ti . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
87eqinfti 6859 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
91, 3, 6, 8mp3and 1301 1  |-  ( ph  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   class class class wbr 3895  infcinf 6822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-cnv 4507  df-iota 5046  df-riota 5684  df-sup 6823  df-inf 6824
This theorem is referenced by:  infminti  6866
  Copyright terms: Public domain W3C validator