Theorem eqinftid 7080

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
eqinftid.2	|- ( ph -> C e. A )
eqinftid.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. y R C )
eqinftid.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ C R y ) ) -> E. z e. B z R y )

Assertion

Ref	Expression
eqinftid	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = C )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem eqinftid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqinftid.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		eqinftid.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. y R C )
3	2	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ph -> A. y e. B -. y R C )
4		eqinftid.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ C R y ) ) -> E. z e. B z R y )
5	4	expr 375	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( C R y -> E. z e. B z R y ) )
6	5	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ph -> A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) )
7		eqinfti.ti	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	eqinfti 7079	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1351	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4029  infcinf 7042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-cnv 4667  df-iota 5215  df-riota 5873  df-sup 7043  df-inf 7044

This theorem is referenced by:  infminti  7086