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Theorem infvalti 6661
Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eqinfti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
infvalti.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
infvalti  |-  ( ph  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, y, z    ph, u, v    u, R, v, y, z    u, B, v, y, z    x, A   
x, B    x, R    ph, x, y, z, u, v

Proof of Theorem infvalti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6624 . 2  |- inf ( B ,  A ,  R
)  =  sup ( B ,  A ,  `' R )
2 eqinfti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
32cnvti 6658 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u `' R v  /\  -.  v `' R u ) ) )
4 infvalti.ex . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
54cnvinfex 6657 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
63, 5supval2ti 6634 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
7 vex 2618 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
8 vex 2618 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 4587 . . . . . . . 8  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x `' R
y  <->  y R x ) )
1110notbid 625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  x `' R y  <->  -.  y R x ) )
1211ralbidv 2376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  <->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
138, 7brcnv 4587 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1413a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y `' R x 
<->  x R y ) )
15 vex 2618 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
168, 15brcnv 4587 . . . . . . . . 9  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1716a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y `' R
z  <->  z R y ) )
1817rexbidv 2377 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  B  y `' R
z  <->  E. z  e.  B  z R y ) )
1914, 18imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
2019ralbidv 2376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
2112, 20anbi12d 457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <-> 
( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) ) )
2221riotabidv 5571 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  (
x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
236, 22eqtrd 2117 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  (
x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
241, 23syl5eq 2129 1  |-  ( ph  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   class class class wbr 3820   `'ccnv 4410   iota_crio 5568   supcsup 6621  infcinf 6622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-cnv 4419  df-iota 4946  df-riota 5569  df-sup 6623  df-inf 6624
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