Theorem infvalti 6661

Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infvalti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infvalti	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   x, A   x, B   x, R   ph, x, y, z, u, v

Proof of Theorem infvalti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6624	. 2 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		eqinfti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 6658	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infvalti.ex	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
5	4	cnvinfex 6657	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
6	3, 5	supval2ti 6634	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
7		vex 2618	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
8		vex 2618	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4587	. . . . . . . 8 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11	10	notbid 625	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
12	11	ralbidv 2376	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
13	8, 7	brcnv 4587	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
14	13	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
15		vex 2618	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
16	8, 15	brcnv 4587	. . . . . . . . 9 |- ( y `' R z <-> z R y )
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
18	17	rexbidv 2377	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
19	14, 18	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
20	19	ralbidv 2376	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
21	12, 20	anbi12d 457	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
22	21	riotabidv 5571	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
23	6, 22	eqtrd 2117	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
24	1, 23	syl5eq 2129	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1287   e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   class class class wbr 3820   `'ccnv 4410   iota_crio 5568   supcsup 6621  infcinf 6622

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-cnv 4419  df-iota 4946  df-riota 5569  df-sup 6623  df-inf 6624

This theorem is referenced by: (None)