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Theorem infvalti 6824
Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eqinfti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
infvalti.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
infvalti  |-  ( ph  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, y, z    ph, u, v    u, R, v, y, z    u, B, v, y, z    x, A   
x, B    x, R    ph, x, y, z, u, v

Proof of Theorem infvalti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6787 . 2  |- inf ( B ,  A ,  R
)  =  sup ( B ,  A ,  `' R )
2 eqinfti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
32cnvti 6821 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u `' R v  /\  -.  v `' R u ) ) )
4 infvalti.ex . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
54cnvinfex 6820 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
63, 5supval2ti 6797 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
7 vex 2644 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
8 vex 2644 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 4660 . . . . . . . 8  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x `' R
y  <->  y R x ) )
1110notbid 633 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  x `' R y  <->  -.  y R x ) )
1211ralbidv 2396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  <->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
138, 7brcnv 4660 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1413a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y `' R x 
<->  x R y ) )
15 vex 2644 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
168, 15brcnv 4660 . . . . . . . . 9  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1716a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y `' R
z  <->  z R y ) )
1817rexbidv 2397 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  B  y `' R
z  <->  E. z  e.  B  z R y ) )
1914, 18imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
2019ralbidv 2396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
2112, 20anbi12d 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <-> 
( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) ) )
2221riotabidv 5664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  (
x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
236, 22eqtrd 2132 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  (
x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
241, 23syl5eq 2144 1  |-  ( ph  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   class class class wbr 3875   `'ccnv 4476   iota_crio 5661   supcsup 6784  infcinf 6785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-cnv 4485  df-iota 5024  df-riota 5662  df-sup 6786  df-inf 6787
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