Theorem infvalti 7124

Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infvalti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infvalti	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   x, A   x, B   x, R   ph, x, y, z, u, v

Proof of Theorem infvalti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7087	. 2 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		eqinfti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 7121	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infvalti.ex	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
5	4	cnvinfex 7120	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
6	3, 5	supval2ti 7097	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
7		vex 2775	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
8		vex 2775	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4861	. . . . . . . 8 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11	10	notbid 669	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
12	11	ralbidv 2506	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
13	8, 7	brcnv 4861	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
14	13	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
15		vex 2775	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
16	8, 15	brcnv 4861	. . . . . . . . 9 |- ( y `' R z <-> z R y )
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
18	17	rexbidv 2507	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
19	14, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
20	19	ralbidv 2506	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
21	12, 20	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
22	21	riotabidv 5901	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
23	6, 22	eqtrd 2238	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
24	1, 23	eqtrid 2250	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   class class class wbr 4044   `'ccnv 4674   iota_crio 5898   supcsup 7084  infcinf 7085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-cnv 4683  df-iota 5232  df-riota 5899  df-sup 7086  df-inf 7087

This theorem is referenced by: (None)