Theorem infvalti 7326

Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infvalti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infvalti	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   x, A   x, B   x, R   ph, x, y, z, u, v

Proof of Theorem infvalti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7289	. 2 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		eqinfti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 7323	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infvalti.ex	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
5	4	cnvinfex 7322	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
6	3, 5	supval2ti 7299	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
7		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
8		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4943	. . . . . . . 8 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11	10	notbid 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
12	11	ralbidv 2544	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
13	8, 7	brcnv 4943	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
14	13	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
15		vex 2818	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
16	8, 15	brcnv 4943	. . . . . . . . 9 |- ( y `' R z <-> z R y )
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
18	17	rexbidv 2545	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
19	14, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
20	19	ralbidv 2544	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
21	12, 20	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
22	21	riotabidv 6013	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
23	6, 22	eqtrd 2267	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
24	1, 23	eqtrid 2279	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   class class class wbr 4114   `'ccnv 4753   iota_crio 6010   supcsup 7286  infcinf 7287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-riota 6011  df-sup 7288  df-inf 7289

This theorem is referenced by: (None)