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Theorem eqinfti 6694
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eqinfti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
Assertion
Ref Expression
eqinfti  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, y, z    ph, u, v    u, R, v, y, z    u, B, v, y, z    u, C, v, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z)

Proof of Theorem eqinfti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6659 . . 3  |- inf ( B ,  A ,  R
)  =  sup ( B ,  A ,  `' R )
2 eqinfti.ti . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
32cnvti 6693 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u `' R v  /\  -.  v `' R u ) ) )
43eqsupti 6670 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  C ) )
5 vex 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
6 brcnvg 4605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( C `' R
y  <->  y R C ) )
76bicomd 139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( y R C  <-> 
C `' R y ) )
85, 7mpan2 416 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  (
y R C  <->  C `' R y ) )
98notbid 627 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  A  ->  ( -.  y R C  <->  -.  C `' R y ) )
109ralbidv 2380 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R C  <->  A. y  e.  B  -.  C `' R y ) )
11 brcnvg 4605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( y `' R C 
<->  C R y ) )
125, 11mpan 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
y `' R C  <-> 
C R y ) )
1312bicomd 139 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( C R y  <->  y `' R C ) )
14 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
155, 14brcnv 4607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1615a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  A  ->  (
y `' R z  <-> 
z R y ) )
1716bicomd 139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
z R y  <->  y `' R z ) )
1817rexbidv 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( E. z  e.  B  z R y  <->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1913, 18imbi12d 232 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  A  ->  (
( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2019ralbidv 2380 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  A. y  e.  A  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2110, 20anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2221pm5.32i 442 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  <->  ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
23 3anass 928 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
24 3anass 928 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <-> 
( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2522, 23, 243bitr4i 210 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2625biimpi 118 . . . 4  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> 
( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
274, 26impel 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  C )
281, 27syl5eq 2132 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C )
2928ex 113 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   class class class wbr 3837   `'ccnv 4427   supcsup 6656  infcinf 6657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-cnv 4436  df-iota 4967  df-riota 5590  df-sup 6658  df-inf 6659
This theorem is referenced by:  eqinftid  6695
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