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Theorem eqinfti 6873
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eqinfti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
Assertion
Ref Expression
eqinfti  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, y, z    ph, u, v    u, R, v, y, z    u, B, v, y, z    u, C, v, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z)

Proof of Theorem eqinfti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6838 . . 3  |- inf ( B ,  A ,  R
)  =  sup ( B ,  A ,  `' R )
2 eqinfti.ti . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
32cnvti 6872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u `' R v  /\  -.  v `' R u ) ) )
43eqsupti 6849 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  C ) )
5 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
6 brcnvg 4688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( C `' R
y  <->  y R C ) )
76bicomd 140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( y R C  <-> 
C `' R y ) )
85, 7mpan2 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  (
y R C  <->  C `' R y ) )
98notbid 639 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  A  ->  ( -.  y R C  <->  -.  C `' R y ) )
109ralbidv 2412 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R C  <->  A. y  e.  B  -.  C `' R y ) )
11 brcnvg 4688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( y `' R C 
<->  C R y ) )
125, 11mpan 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
y `' R C  <-> 
C R y ) )
1312bicomd 140 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( C R y  <->  y `' R C ) )
14 vex 2661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
155, 14brcnv 4690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1615a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  A  ->  (
y `' R z  <-> 
z R y ) )
1716bicomd 140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
z R y  <->  y `' R z ) )
1817rexbidv 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( E. z  e.  B  z R y  <->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1913, 18imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  A  ->  (
( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2019ralbidv 2412 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  A. y  e.  A  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2110, 20anbi12d 462 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2221pm5.32i 447 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  <->  ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
23 3anass 949 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
24 3anass 949 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <-> 
( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2522, 23, 243bitr4i 211 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2625biimpi 119 . . . 4  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> 
( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
274, 26impel 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  C )
281, 27syl5eq 2160 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C )
2928ex 114 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   _Vcvv 2658   class class class wbr 3897   `'ccnv 4506   supcsup 6835  infcinf 6836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-riota 5696  df-sup 6837  df-inf 6838
This theorem is referenced by:  eqinftid  6874
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