Theorem eqinfti 7350

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eqinfti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem eqinfti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7315	. . 3 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		eqinfti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 7349	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4	3	eqsupti 7326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C ) )
5		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
6		brcnvg 4956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( C `' R y <-> y R C ) )
7	6	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( y R C <-> C `' R y ) )
8	5, 7	mpan2 429	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( y R C <-> C `' R y ) )
9	8	notbid 677	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( -. y R C <-> -. C `' R y ) )
10	9	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. B -. y R C <-> A. y e. B -. C `' R y ) )
11		brcnvg 4956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. _V /\ C e. A ) -> ( y `' R C <-> C R y ) )
12	5, 11	mpan 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( y `' R C <-> C R y ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( C R y <-> y `' R C ) )
14		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
15	5, 14	brcnv 4958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y `' R z <-> z R y )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y `' R z <-> z R y ) )
17	16	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( z R y <-> y `' R z ) )
18	17	rexbidv 2551	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B y `' R z ) )
19	13, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
20	19	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
21	10, 20	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( C e. A -> ( ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
22	21	pm5.32i 458	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
23		3anass 1013	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
24		3anass 1013	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
25	22, 23, 24	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
26	25	biimpi 120	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
27	4, 26	impel 280	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C )
28	1, 27	eqtrid 2283	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> inf ( B , A , R ) = C )
29	28	ex 115	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768   supcsup 7312  infcinf 7313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-riota 6028  df-sup 7314  df-inf 7315

This theorem is referenced by:  eqinftid  7351