Theorem eqinfti 7324

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eqinfti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem eqinfti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7289	. . 3 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		eqinfti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 7323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4	3	eqsupti 7300	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C ) )
5		vex 2818	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
6		brcnvg 4941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( C `' R y <-> y R C ) )
7	6	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( y R C <-> C `' R y ) )
8	5, 7	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( y R C <-> C `' R y ) )
9	8	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( -. y R C <-> -. C `' R y ) )
10	9	ralbidv 2544	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. B -. y R C <-> A. y e. B -. C `' R y ) )
11		brcnvg 4941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. _V /\ C e. A ) -> ( y `' R C <-> C R y ) )
12	5, 11	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( y `' R C <-> C R y ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( C R y <-> y `' R C ) )
14		vex 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
15	5, 14	brcnv 4943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y `' R z <-> z R y )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y `' R z <-> z R y ) )
17	16	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( z R y <-> y `' R z ) )
18	17	rexbidv 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B y `' R z ) )
19	13, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
20	19	ralbidv 2544	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
21	10, 20	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( C e. A -> ( ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
22	21	pm5.32i 454	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
23		3anass 1009	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
24		3anass 1009	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
25	22, 23, 24	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
26	25	biimpi 120	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
27	4, 26	impel 280	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C )
28	1, 27	eqtrid 2279	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> inf ( B , A , R ) = C )
29	28	ex 115	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   `'ccnv 4753   supcsup 7286  infcinf 7287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-riota 6011  df-sup 7288  df-inf 7289

This theorem is referenced by:  eqinftid  7325