Theorem eqinfti 6997

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eqinfti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem eqinfti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6962	. . 3 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		eqinfti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 6996	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4	3	eqsupti 6973	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C ) )
5		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
6		brcnvg 4792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( C `' R y <-> y R C ) )
7	6	bicomd 140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( y R C <-> C `' R y ) )
8	5, 7	mpan2 423	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( y R C <-> C `' R y ) )
9	8	notbid 662	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( -. y R C <-> -. C `' R y ) )
10	9	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. B -. y R C <-> A. y e. B -. C `' R y ) )
11		brcnvg 4792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. _V /\ C e. A ) -> ( y `' R C <-> C R y ) )
12	5, 11	mpan 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( y `' R C <-> C R y ) )
13	12	bicomd 140	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( C R y <-> y `' R C ) )
14		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
15	5, 14	brcnv 4794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y `' R z <-> z R y )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y `' R z <-> z R y ) )
17	16	bicomd 140	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( z R y <-> y `' R z ) )
18	17	rexbidv 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B y `' R z ) )
19	13, 18	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
20	19	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
21	10, 20	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( C e. A -> ( ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
22	21	pm5.32i 451	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
23		3anass 977	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
24		3anass 977	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
25	22, 23, 24	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
26	25	biimpi 119	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
27	4, 26	impel 278	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C )
28	1, 27	eqtrid 2215	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> inf ( B , A , R ) = C )
29	28	ex 114	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   supcsup 6959  infcinf 6960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-riota 5809  df-sup 6961  df-inf 6962

This theorem is referenced by:  eqinftid  6998