ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqinftid GIF version

Theorem eqinftid 6623
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eqinfti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
eqinftid.2 (𝜑𝐶𝐴)
eqinftid.3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝑦𝑅𝐶)
eqinftid.4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝐶𝑅𝑦)) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)
Assertion
Ref Expression
eqinftid (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem eqinftid
StepHypRef Expression
1 eqinftid.2 . 2 (𝜑𝐶𝐴)
2 eqinftid.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝑦𝑅𝐶)
32ralrimiva 2440 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶)
4 eqinftid.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝐶𝑅𝑦)) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)
54expr 367 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
65ralrimiva 2440 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
7 eqinfti.ti . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
87eqinfti 6622 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
91, 3, 6, 8mp3and 1272 1 (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354   class class class wbr 3811  infcinf 6585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-cnv 4409  df-iota 4934  df-riota 5547  df-sup 6586  df-inf 6587
This theorem is referenced by:  infminti  6629
  Copyright terms: Public domain W3C validator