Theorem eqinftid 7038

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqinfti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
eqinftid.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
eqinftid.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦𝑅𝐶)
eqinftid.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)

Assertion

Ref	Expression
eqinftid	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem eqinftid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqinftid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eqinftid.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦𝑅𝐶)
3	2	ralrimiva 2563	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶)
4		eqinftid.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)
5	4	expr 375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
6	5	ralrimiva 2563	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
7		eqinfti.ti	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
8	7	eqinfti 7037	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1351	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   class class class wbr 4018  infcinf 7000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-cnv 4649  df-iota 5193  df-riota 5847  df-sup 7001  df-inf 7002

This theorem is referenced by:  infminti  7044