Theorem ssrelrel 4870

Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 5309 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssrelrel	|- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem ssrelrel

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
2	1	alrimiv 1927	. . 3 |- ( A C_ B -> A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
3	2	alrimivv 1928	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
4		elvvv 4833	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
5		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. A ) )
6		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. B <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( ( w e. A -> w e. B ) <-> ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
8	7	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
9	8	alimi 1508	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A. z ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
10		19.23v 1936	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) <-> ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
12	11	2alimi 1509	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A. x A. y ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
13		19.23vv 1937	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
14	12, 13	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
15	4, 14	biimtrid 152	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
16	15	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w e. A -> ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> w e. B ) ) )
17	16	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
18	17	alimdv 1932	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( A. w ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> A. w ( w e. A -> w e. B ) ) )
19		ssalel 3235	. . . 4 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> A. w ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
20		ssalel 3235	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. w ( w e. A -> w e. B ) )
21	18, 19, 20	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> A C_ B ) )
22	21	com12 30	. 2 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A C_ B ) )
23	3, 22	impbid2 143	1 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   <.cop 3708   X. cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-opab 4188  df-xp 4775

This theorem is referenced by:  eqrelrel  4871