Theorem ssrelrel 4704

Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 5130 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssrelrel	|- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem ssrelrel

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3136	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
2	1	alrimiv 1862	. . 3 |- ( A C_ B -> A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
3	2	alrimivv 1863	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
4		elvvv 4667	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
5		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. A ) )
6		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. B <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
7	5, 6	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( ( w e. A -> w e. B ) <-> ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
8	7	biimprcd 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
9	8	alimi 1443	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A. z ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
10		19.23v 1871	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) <-> ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
11	9, 10	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
12	11	2alimi 1444	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A. x A. y ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
13		19.23vv 1872	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
14	12, 13	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
15	4, 14	syl5bi 151	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
16	15	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w e. A -> ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> w e. B ) ) )
17	16	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
18	17	alimdv 1867	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( A. w ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> A. w ( w e. A -> w e. B ) ) )
19		dfss2 3131	. . . 4 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> A. w ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
20		dfss2 3131	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. w ( w e. A -> w e. B ) )
21	18, 19, 20	3imtr4g 204	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> A C_ B ) )
22	21	com12 30	. 2 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A C_ B ) )
23	3, 22	impbid2 142	1 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   <.cop 3579   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  eqrelrel  4705