Theorem ssrelrel 4818

Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 5254 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssrelrel	|- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem ssrelrel

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3218	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
2	1	alrimiv 1920	. . 3 |- ( A C_ B -> A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
3	2	alrimivv 1921	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
4		elvvv 4781	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
5		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. A ) )
6		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. B <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( ( w e. A -> w e. B ) <-> ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
8	7	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
9	8	alimi 1501	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A. z ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
10		19.23v 1929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) <-> ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
12	11	2alimi 1502	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A. x A. y ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
13		19.23vv 1930	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
14	12, 13	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
15	4, 14	biimtrid 152	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
16	15	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w e. A -> ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> w e. B ) ) )
17	16	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
18	17	alimdv 1925	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( A. w ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> A. w ( w e. A -> w e. B ) ) )
19		ssalel 3212	. . . 4 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> A. w ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
20		ssalel 3212	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. w ( w e. A -> w e. B ) )
21	18, 19, 20	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> A C_ B ) )
22	21	com12 30	. 2 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A C_ B ) )
23	3, 22	impbid2 143	1 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   <.cop 3669   X. cxp 4716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4145  df-xp 4724

This theorem is referenced by:  eqrelrel  4819